![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •24. Класи інтегровних функцій.
- •25.Властивості означених інтегралів
- •26. Інтеграл зі змінною верхньою межею, властивості. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •27. Застосування означеного інтеграла(обчислення площ, об’єму тіла, довжини кривої)
- •27. Застосування означеного інтеграла(обчислення площ, об’єму тіла, довжини кривої)
- •28. Невласні інтеграли 1 і 2 роду. Критерій збіжності. Достатні умови
- •28. Невласні інтеграли 1 і 2 роду. Критерій збіжності. Достатні умови
- •29. Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна умова. Достатні умови екстремуму
- •29. Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна умова. Достатні умови екстремуму
29. Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна умова. Достатні умови екстремуму
функції двох змінних.
Введемо
позначення
,
,
і покладемо
,
так що всі
при
Тоді різниця
запишеться у вигляді:
Поведінка
залежить від знаку виразу
.
Введемо полярні координати:
де
.
Тоді
1) Нехай
.
В цьому випадку
,
і тричлен
можна представити у вигляді:
Звідси видно, що вираз у квадратних
дужках завжди додатній, так що тричлен
при всіх значеннях
,
не перетворюючись в нуль, зберігає знак
коефіцієнта
.
Його абсолютна величина як неперервна
на проміжку
функція від
має найменше значення
:
.
З іншої сторони, якщо розглянути другий
тричлен
,
то враховуючи, що всі
при
отримаємо:
,
якщо тільки
досить мале. Тоді різниця
буде
мати той знак, що і
.
Отже, якщо
,
то і
тобто функція в точці
має
мінімум.
2)
Нехай
<0
і нехай
.
Тоді знову можна скористатись перетворенням
При
вираз в квадратних дужках буде додатнім,
або зведеться до
.
Навпаки, якщо визначити
з умови
,
то цей вираз зведеться до (
)
і буде від’ємним.
При досить малому
другий тричлен
як при
,
так і при
буде як завгодно малим і знак
визначиться
знаком першого тричлена. Таким чином,
поблизу точки
на
променях, визначених кутами
і
,
різниця
буде мати значення різних знаків. Тому
в цій точці екстремуму бути не може.
Якщо
і тричлен
зведеться до
,
то, користуючись тим, що
,
можна визначити кут
так, що
Тоді
при
і
згаданий тричлен буде мати протилежні
знаки. Таким чином, поблизу точки
на
променях, визначених кутами
і
,
різниця
буде мати значення різних знаків. Тому
в цій точці екстремуму бути не може.
Отже, якщо
,
то в досліджуваній стаціонарній точці
функція
має екстремум, а саме, власний максимум
при
<0
і власний мінімум при
.
Якщо ж
<0,
то екстремуму немає.У випадку
=0
для дослідження потрібно використовувати
похідні вищих порядків.