- •Раздел 3. Динамика.
- •Тема 3. Общие теоремы динамики материальной точки и механической системы (часть 1)
- •3.1. Теорема о движении центра масс системы
- •3.2. Количество движения материальной точки и механической системы
- •3.3. Импульс силы
- •3.4. Теорема об изменении количества движения материальной точки
- •3.5. Теорема об изменении главного вектора количества движения механической системы
- •3. Момент количества движения материальной точки относительно оси.
- •3.7. Кинетический момент механической системы относительно центра и оси
- •3.8. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра и оси
- •3.9. Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси
3.2. Количество движения материальной точки и механической системы
Количество движения материальной точки — векторная мера ее движения, равная произведению массы точки на вектор ее скорости:
(3.5)
Количество движения механической системы или главный вектор количества движения — геометрическая сумма количеств движения всех материальных точек системы:
(3.6)
Преобразуем (3.6):
(3.7)
где — скорость центра масс.
Если механическая система состоит из твердых тел, то по формуле (3.7) определяется количество движения каждого тела, а затем
(3.8)
где — скорость центра масс тела.
Модуль главного вектора количества движения системы определяется через его проекции на оси декартовых координат
, , , (3.9)
Например, определить количество движения системы:
1 . Вращение тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс (рис. 3). Так как , то .
2
Рисунок 3
Рисунок 4
3. Система из двух ползунов, соединенных невесомым стержнем (рис. 5):
Рисунок 5
Пусть ; , .
Из кинематики известно, что… . .
Тогда .
3.3. Импульс силы
Импульс силы — векторная мера действия силы в течение некоторого времени.
Элементарный импульс силы — векторная величина, равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени , т. е,
(3.10)
Импульс силы за конечный промежуток времени равен интегральной сумме соответствующих элементарных импульсов, т. е.
(3.11)
Выражение (3.11) в проекциях на оси декартовых координат;
, , , (3.12)
Пример 3.
На материальную точку действует сила . Определить импульс силы за время .
Решение. Проекции силы на оси координат , Fy = 6; . Проекции импульса силы на оси , ,
Модуль импульса силы . . Ответ.
Если на точку действует несколько сил, то они заменяются равнодействующей , импульс которой равен геометрической сумме импульсов всех сил. Поясним это: .
. (3.13)
Действие внешних сил, приложенных к механической системе за некоторый промежуток времени , характеризуется импульсом главного вектора внешних сил:
. (3.14)
Векторному равенству (3.14) соответствуют три скалярных
, , (3.15)
где Rx и т. д. — проекции главного вектора на оси координат. Модуль импульса внешних сил
. (3.16)