Раздел 2. Кинематика.

Тема 1. Введение в кинематику

Кинематика — это раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение материальных тел без рассмотрения условий, вызывающих или изменяющих это движение.

Движение материальных тел происходит в пространстве и во времени. Пространство рассматривают как трехмерное евклидово, время в этом пространстве одинаково во всех его точках и не зависит от движения материальных тел.

Под механическим движением понимают изменение положения одного тела относительно другого.

Системой отсчета называют систему координат, связанную с одним из тел. Если тело движется, то система отсчета подвижна, если тело в покое, то система отсчета неподвижна.

Основные задачи кинематики

1. Установление закона движения тела по отношению к выбранной системе отсчета.

2. Определение по заданному закону движения тела кинематических характеристик этого движения (траектория, скорость, ускорение, угловые скорость и ускорение и т. д.)

Тема 2. Кинематика точки

Простейшим материальным телом, изучаемым в теоретической механике, является материальная точка. Материальной точкой считают твердое тело, размерами которого в данной задаче пренебрегают. Движение точки считают заданным, если известен способ, позволяющий установить ее положение относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени.

Траекторией называют геометрическое место последовательных положений движущейся точки в выбранной системе отсчета. Движение точки называют криволинейным, если точка перемещается по кривой линии, и прямолинейным, если она перемещается по прямой линии. При этом вид траектории зависит от системы отсчета.

Существуют три способа задания движения точки: векторный, координатный, естественный.

Способы задания движения точки. Скорость и ускорение

Векторный способ задания движения заключается в задании положения точки радиусом-вектором, который является векторной функцией времени, относительно выбранной точки отсчета.

. (1)

Э та функция должна быть однозначной и непрерывной. Выражение (1) называют законом движения точки в векторной форме.

Т

Рисунок 1

раектория точки М при векторном способе — это геометрическое место точек концов радиуса-вектора при изменении времени, т. е. годограф радиуса-вектора.

Годограф — это кривая, которую описывает конец радиуса-вектора при изменении его аргумента, когда начало вектора находится в одной и той же точке (рис. 1).

Скорость точки характеризует быстроту и направление движения точки и равна производной радиуса-вектора точки по времени:

(2)

В механике производную по времени обозначают точкой над переменной.

Н аправление вектора скорости можно определить, используя понятие производной вектора по скалярному аргументу, которая всегда направлена по касательной к годографу этого вектора.

Вектор скорости точки направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения (рис. 1).

У

Рисунок 2

скорение точки характеризует быстроту изменения величины и направления скорости точки и равно первой производной вектора скорости по времени или второй производной радиуса-вектора по времени:

(3)

Вектор ускорения направлен по касательной к годографу вектора скорости (рис. 2).

Координатный способ задания движения заключается в задании координат точки в виде известных, непрерывных, дважды дифференцируемых функций времени.

Системы координат могут быть различными: декартовы, полярные, сферические, цилиндрические и т. д. В декартовой системе координат уравнениями движения точки будут

, , (4)

Переход от векторного способа к координатному. Начало декартовой системы координат поместим в точке О, относительно которой задано движение точки М в векторной форме (рис. 3): .

Р азложим радиус-вектор по координатным осям, используя единичные векторы :

(5)

Так как проекции радиуса-вектора равны координатам точки, то , , .

С

Рисунок 3

ледовательно: . (6)

Если использовать выражение (4), то можно записать

. (7)

Из выражения (7) следует, что если известно движение точки в координатной форме, то можно перейти к векторному способу задания движения.

Уравнения движения (4) являются также уравнениями траектории точки в параметрическом виде. Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, необходимо исключить время из уравнений (4). Для этого выразим t из уравнения , т. е. , и подставим его в остальные уравнения:

, (8)

Скорость точки в декартовых координатах:

.

Отсюда следует , , , (9)

где , , — проекции вектора скорости на соответствующие оси координат;

(10)

Находим углы вектора скорости с осями координат:

, , . (11)

Ускорение точки в декартовых координатах:

,

где , , (12)

(a_x, a_y, a_z — проекции вектора ускорения на соответствующие оси координат):

. (13)

Находим углы вектора ускорения с осями координат:

, , . (14)

Естественный способ задания движения считается известным, если заданы:

1. Т раектория точки.

2. Закон движения точки по траектории .

3. Начало отсчета.

4. П

   Рисунок 4

   оложительное и отрицательное направления движения.

Закон движения также называют дуговой координатой, которую отсчитывают от начального положения (рис. 4). Дуговую координату не следует смешивать с длиной пути, пройденного точкой, так как за начало отсчета может быть выбрана любая точка или движение может быть колебательным.

П

Рисунок 5

ри естественном способе задания движения точки в качестве координатных осей принимают естественные оси (оси естественного трехгранника): — касательная, — нормаль, — бинормаль (рис. 5);

— касательная является линией пересечения соприкасающейся и спрямляющей плоскостей.

— нормаль является линией пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей.

— бинормаль является линией пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей.

При движении точки по кривой естественные оси перемещаются вместе с точкой, образуя правую систему координат, , являются единичными векторами, направленными по трем взаимно перпендикулярным осям , , .

Скорость точки при естественном способе задания движения.

З а время точка М по траектории перешла в положение (рис. 6). За это время дуговая координата изменилась на , а радиус-вектор — на . Используя определение скорости, запишем:

.

Обозначим , .

В

Рисунок 6

ектор направлен по касательной к траектории, как производная вектора по скалярному аргументу (рис. 6), в сторону возрастания дуговой координаты . Модуль этого вектора равен единице. Он представляет собой предел отношения длины хорды ( ) к длине стягивающей ее дуги ( ) при стремлении к нулю: .

Скалярную величину , представляющую проекцию вектора скорости на касательную, называют алгебраической скоростью точки. Если , то вектор скорости направлен по , т. е. в сторону возрастания значений S (рис. 6), а если , то вектор скорости направлен в сторону убывающих значений дуговой координаты. Тогда

(15)

Или (16)

Ускорение точки при естественном способе задания движения.

Для определения ускорения дифференцируем выражение (16) по времени:

, (17)

где . Тогда формула (17) примет вид

, (18)

У

Рисунок 7

скорение точки состоит из двух взаимно перпендикулярных составляющих. Одна направлена по касательной к траектории, а другая — по нормали к этой траектории в сторону ее вогнутости. Эти составляющие называют соответственно касательным и нормальным ускорениями точки. Они лежат в соприкасающейся плоскости. Проекция ускорения точки на бинормаль равна нулю, так как вектор ускорения расположен в соприкасающейся плоскости:

(19)

Вектор касательного ускорения

, (20)

модуль касательного ускорения

. (21)

Вектор нормального ускорения

, (22)

модуль нормального ускорения

. (23)

Модуль ускорения равен:

. (24)

Угол отклонения вектора ускорения от нормали составит (рис. 7):

. (25)

Касательное ускорение характеризует изменение скорости по модулю, а нормальное — изменение скорости по направлению.

Касательное и нормальное ускорения точки можно определить при ее движении в плоскости через проекции скорости и ускорения в декартовых координатах, используя выражения (10), (21), (24):

, (26-27)

Классификация движения по ускорениям

1. , . Движение прямолинейное и равномерное.

2. , . Движение криволинейное и равномерное (рис. 8).

3. , . Движение прямолинейное и неравномерное.

   1. П

      Рисунок 8

      рямолинейное, ускоренное (рис. 9)

Рисунок 9

2. Прямолинейное, замедленное (рис. 10)

Рисунок 10

4. , . Движение криволинейное и неравномерное.

   1. Криволинейное, ускоренное ( , )(рис. 11)

   2. Криволинейное, замедленное (рис. 12, а, б)

Рисунок 11

Рисунок 12

Уравнения движения точки

Уравнение равномерного движения по траектории любой формы,

(28)

Уравнение равнопеременного движения по траектории любой формы

(29)

где — начальное положение; — начальная скорость. Если , то движение равноускоренное. Если , то движение равнозамедленное. Скорость равнопеременного движения

(30)

Переход от координатного к естественному способу задания движения

Задано движение точки координатным способом: , , . Для перехода от координатного способа к естественному необходимо:

1. Установить траекторию, если возможно, т. е. получить уравнение траектории в явном виде: , .

2. Определить закон движения по этой траектории по формуле:

.

3. Установить начало отсчета, подставив в уравнения движения начальное время. Если это время не задано, подставляют .

4. Определить положительное направление движения, которое можно узнать или по вектору скорости, или, задавая значения времени в уравнения движения, чтобы получить новую точку на траектории.