- •Функции одной переменной
- •1.Предел последовательности
- •Дайте определение предела последовательности. Докажите, исходя из определения, что .
- •Докажите единственность предела сходящейся последовательности.
- •Докажите ограниченность сходящейся последовательности. Приведите пример ограниченной последовательности, не имеющей предела.
- •Существует ли ? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение функции, непрерывной в точке. Найдите значение , при котором функция является непрерывной в точке .
- •Дайте определение точки разрыва функции. Приведите примеры функций, для которых является: а) точкой разрыва I рода со скачком, равным 2; б) точкой разрыва II рода.
- •Сформулируйте теорему о существовании нуля непрерывной функции. Используя эту теорему, докажите, что уравнение имеет корень на отрезке .
- •Функция определена следующим образом . А) Существует ли ? б) Будет ли функция непрерывной в точке ? Дайте обоснованные ответы.
- •На рисунке изображен график функции .
- •Следует ли из существования производной функции в точке ее непрерывность в этой точке? Ответ обоснуйте.
- •Докажите теорему о производной суммы двух функций.
- •Докажите теорему о производной произведения двух функций.
- •На рисунке изображен график производной функции .
- •Функция такова, что для всех действительных значений , и . Какой из представленных графиков может быть графиком функции ?
, - произвольное число. f ’(x)=3х2
, - произвольное число. f ’(x)=cos x
, . f ’(x)=1/(2 ), f ’(x0)=1/6
, . f ’(x)= -2 / x3, f ’(x0) = -2
, . |x| не имеет производной в х0=0
Следует ли из существования производной функции в точке ее непрерывность в этой точке? Ответ обоснуйте.
Если функция U=f(x) дифференцирована в некоторый точке x=x0, то она непрерывна в этой точке. Это условие необходимое, но недостаточное.
Доказательство: пусть функция u= f(x) дифференцирована, тогда существует =а, тогда =а+(x), где (x) – бмп. Тогда y=xа + x(x), y = ( f ’(x0) x +x) = 0 в силу непрерывности.
Докажите теорему о производной суммы двух функций.
Докажите теорему о производной произведения двух функций.
Дайте определение дифференциала функции в точке . Используя дифференциал, найдите приближенное значение величины:
Дифференциалом функции в точке х0 называется главная линейная часть приращения функции в этой точке
При x0, dy=y’x или .
= , 25= x0, 0,12=x => f(x)= => f’(x)=1/10
5+0.1*0.12=5.012
ln(1+0,09)= ln1+1*0.09=0.09
Дайте определение эластичности функции в точке. Найдите эластичность функции в точке :
Эластичностью функции y = f(x) в точке х0 называется предел .
Ey = (lnx)’ * x
, . Ey = - x / (x+1). Ey (4)= -4/5
, . Ey = 3x*ln3*x / 3x = x * ln3. Ey (5)=5ln3
Дайте определение и сформулируйте необходимое условие локального экстремума функции одной переменной. Приведите пример функции, для которой это условие выполнено в некоторой точке, но экстремум отсутствует.
Точками локального экстремума явл. точки локального максимума (минимума). Точкой локального максимума точка явл. если существует окрестность т. Мо, в которой для любой точки М(x,y) выполняется неравенство f(M)f(M0). Необходимое условие: если f’(x,y) имеет частные производные 1-ого порядка в точке локального экстремума M0(x,y), то . Примером является х3, х0=0 – точка перегиба, но не экстремума.
На рисунке изображен график производной функции .
Какое из утверждений верно:
а) функция убывает для ; нет
б) функция возрастает для ; нет, только на х на интервале [-2; 0). Точка 0 – дочка локального максимума.
в) функция возрастает для ; нет
г) функция имеет локальный минимум при ; нет, максимум
д) функция не дифференцируема при и при . Дифференцируема, так как существует значение производной.
Функция такова, что для всех действительных значений , и . Какой из представленных графиков может быть графиком функции ?
а) б)
в) г)
д)
Рассмотрим. значит, что ф-ция находится под Ох (то есть ф-ция приминает только отрицательные значения при любом значении аргумента). значит, что функция убывает во всех значениях своего аргумента. И, наконец, означает, что ф-ция вогнута. Всем этим условиям соответствует только б)
Сформулируйте теорему Ролля. Докажите, что производная функции обращается в нуль в некоторой точке интервала .
Пусть ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и f(a) = f(b), то найдётся хотя бы одна точка , в которой .
, f(0)=0, f(4)=0. Ф-ция непрерывна и диф-ма на промежутке. В таком случае по теореме Ролля на этом промежутке существует экстремум ф-ции.
Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если на интервале , то функция постоянна на этом интервале.
Пусть ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), тогда существует точка с О из (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a). . => .
Используя теорему Лагранжа, докажите, что если на интервале , то функция возрастает на этом интервале.
Пусть функция у=f(x) имеет f’(x)и.непрерывна на отрезке [a, b]; Тогда существует точка такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a).
Пусть функция у=f(x) имеет f’(x)и.непрерывна на отрезке [a, b]; Тогда существует точка такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a)
F'(c) > 0 -> возрастает.
Функция дифференцируема на промежутке . Известно, что , и .
а) Какое наименьшее количество нулей может иметь данная функция на указанном промежутке? 2 нуля (достаточно отметить точки f(-10) f(-1) и f(3) на графике чтобы это понять)
б) Существует ли такое значение , что ? Да, так как существует f(-10)=5 и f(-1)=-1. Функция непрерывна, и поэтому она должна проходить в точке f(c)=2.
в) Существуют ли на промежутке у функции горизонтальные касательные? Да, так как она сначала убывает, а потом возрастает. В точке смены убывания на возрастание (f’(x)=0) у функции будет горизонтальная касательная.
г) Если у функции есть только одна точка экстремума на , будет ли она точкой максимума или минимума? Точкой минимума, так как ф-ция меняет свое поведение с убывания на возрастание.