18. Существует ли ? Ответ обоснуйте.

Нет, не существует.

Он бы имелся, если бы левый и правый пределы в точке 0 не только существовали, но и были равны. А в данном случае левосторонний предел при сокращении получается равен -1, а правосторонний 1.

3.Непрерывность функции

19. Дайте определение функции, непрерывной в точке. Найдите значение , при котором функция является непрерывной в точке .

Функция f(x), определённая в некоторой окрестности точки x₀, называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке x₀ существует и равен значению в этой точке, т.е.

В функции, которая нам дана, можно представить x²-16 как (х-4)(х+4), тогда (x-4) могло бы сократиться и в числителе, и в знаменателе, и осталось просто (x+4), тогда при x=4 дроби приняла бы значение 8. Но мы этого делать не имеем права, т.к. при подстановке x=4 в исходное выражение получается деление на ноль. Поэтому нужно, чтобы C принимало то значение, которое дробь могла бы принять при сокращении, т.е. “заполнить” эту точку разрыва. Поэтому C=8

20. Дайте определение точки разрыва функции. Приведите примеры функций, для которых является: а) точкой разрыва I рода со скачком, равным 2; б) точкой разрыва II рода.

1. Точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не является непрерывной в точке x₀, т.е. в любом из трёх случаев:

• функция не определена в x0

• не существует

• 

1. – разрыв I рода в точке 0 со скачком, равным 2.

2. – разрыв II рода в точке 0.

21. Сформулируйте теорему о существовании нуля непрерывной функции. Используя эту теорему, докажите, что уравнение имеет корень на отрезке .

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает значения разных знаков на концах этого отрезка, то существует точка c (a;b), такая, что f(c)=0 (т.е. график пересекает ось абсцисс).

Каждая из функций е^x-1, (x+1) и ln(x+1) непрерывна на отрезке [0;1], поэтому по свойствам непрерывных функций, также непрерывна на этом отрезке. При x=0 функция принимает значение , что больше нуля. При x=1 функция принимает значение 1 – 2ln(2), что меньше нуля. Тогда, согласно теореме, существует такая точка c, в которой значение функции равно нулю, что и требовалось доказать.

22. Функция определена следующим образом . А) Существует ли ? б) Будет ли функция непрерывной в точке ? Дайте обоснованные ответы.

а) да, существует, находится из 1-го выражения, т.к в точке б значение ф-ции может быть или не быть равно значению предела

б) Функция будет непрерывна при б=0, так как тогда зн-е ф-ции будет равно зн-ю предела.

23. На рисунке изображен график функции .

В какой из точек графика (при , , , или ) функция будет непрерывной, но не дифференцируемой. Ответ обоснуйте.

Из рисунка видно, что точки разрыва (не явл непрерывной): а (2 рода), б (устранимая), д (2 рода). Ф-ция непрерывна в с и е, причем с – точка минимума (то есть производная равна 0). Тогда методом исключения выделяем е.

Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения, производную функции в точке :

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =