Управление и оптимизация / Novikov - Teoriya upravleniya organizatsionnimi sistemami 2005

На рисунке 7.6 приведена технологическая цепь производства некоторого товара (услуги). Исполнитель w1 принимает сырье от поставщика, проводит первичную обработку и передает результат исполнителю w2. Тот выполняет очередную технологическую операцию и передает результат далее. Последний исполнитель (в примере – w3), выполнив последнюю технологическую операцию, отгружает продукцию потребителю. Если все потоки одинаковы, то подобный граф назовем симметричной цепью. Интенсивность потоков в симметричной цепи обозначим λ.

Рис. 7.6. Симметричная цепь

В рассматриваемой модели мы допускаем наличие потоков между вершиной технологического графа и внешней средой, изображенных на рисунке 7.6 «висячими» связями.

Рассмотрим иерархию, изображенную на рисунке 7.7. Предположим, что произошло нарушение потока между исполнителями w2 и w3 (например, в результате конфликта между ними). Исполнитель w2 сообщает своему непосредственному начальнику m1, что у него возникли проблемы. Менеджер m1 не в состоянии разрешить конфликт, так как исполнитель w3 ему не подчинен. Аналогично менеджер m2 не в состоянии самостоятельно справится с конфликтом, о котором ему сообщил исполнитель w3. В итоге менеджеры m1 и m2 сообщат о конфликте своему непосредственному начальнику m, который и примет решение, ликвидирующее конфликт. Это решение менеджеры m1 и m2 передадут соответственно исполнителям w2 и w3. Аналогично можно рассмотреть планирование потока между

350

исполнителями w2 и w3. Менеджер m передает план потока менеджерам m1 и m2, которые доводят план до исполнителей w2 и w3 соответственно. Факт выполнения плана доводится до менеджера m в обратном порядке.

m

m1 m2

w1 w2 w3 w4

Рис. 7.7. Дерево управления цепью

Таким образом, в управлении потоком от w2 к w3 задействованы менеджеры m1, m2 и m. В управлении потоком от w1 к w2 задействован только менеджер m1, так как он самостоятельно принимает все решения, связанные с этим потоком. Аналогично в управлении потоком от w3 к w4 задействован только менеджер m2.

В управлении потоком из внешней среды к w1 участвуют менеджеры m1 и m (например, план закупок определяется менеджером m, уточняется менеджером m1 и передается исполнителю w1). Аналогично в управлении внешним потоком от w4 во внешнюю среду участвуют менедже-

ры m2 и m.

Из примера видно, что суммарный поток, управляемый менеджером, состоит из двух частей:

1)потока внутри управляемой группы, который не управляется подчиненными менеджерами (как и в предыдущей модели);

2)внешнего потока (то есть потока между подчиненной группой и всеми остальными исполнителями и потока между подчиненной группой и внешней средой).

Будем рассматривать всевозможные иерархии, управляющие технологическим графом. Под управлением мы

351

будем подразумевать, что в иерархии найдется хотя бы один менеджер, который управляет всеми исполнителями (непосредственно или с помощью подчиненных менеджеров). Тогда можно показать, что найдется оптимальная иерархия, удовлетворяющая следующим свойствам:

1)все менеджеры управляют различными группами исполнителей;

2)только один менеджер не имеет начальников. Этому менеджеру подчинены все остальные менеджеры и все исполнители;

3)среди сотрудников, непосредственно подчиненных одному менеджеру, ни один не управляет другим.

Условие 1 означает отсутствие полного дублирования, при котором два менеджера управляют одной и той же группой исполнителей. На рисунке 7.8а приведен пример подобного дублирования. Два менеджера управляют одной

итой же группой {w1, w2, w3}. При этом один них может быть удален, а всем его начальникам можно подчинить другого менеджера, не увеличивая затрат.

Рис. 7.8. Иерархии «a»–«в» нарушают свойства 1–3 соответственно

В соответствии с условием 2 найдется только один менеджер m, который не имеет начальников. Этому менеджеру подчинены все исполнители и все остальные менеджеры иерархии. Будем называть m высшим менеджером. Это соответствует практике построения организа-

352

ций, при которой только один высший менеджер может принимать решения, обязательные для всех сотрудников (например, может разрешить конфликт между любыми сотрудниками). На рисунке 7.8б приведен пример, в котором два менеджера не имеют начальников, то есть нарушается условие 2. Очевидно, что «лишний» менеджер может быть удален без увеличения затрат иерархии.

Условие 3 можно интерпретировать следующим образом. Пусть менеджер m2 непосредственно подчинен менеджеру m1. Тогда m1 непосредственно не управляет подчиненными менеджера m2. Это соответствует «нормальному» функционированию организации, при котором менеджер управляет всеми подчиненными сотрудниками через непосредственных подчиненных, а не напрямую. На рисунке 7.8в приведен пример, в котором высший менеджер m непосредственно управляет исполнителями w2 и w3, несмотря на то, что ими уже управляют непосредственные подчиненные менеджера m.

Также легко показать [37], что если функция затрат вогнута, то оптимальна двухуровневая иерархия, в которой единственный начальник управляет всеми вершинами технологического графа.

Подобным образом могут описываться небольшие организации, в которых двухуровневые иерархии весьма распространены. Однако при росте организации, то есть при достаточно большой величине потока, функция затрат перестает быть вогнутой, поскольку менеджер чрезмерно загружен, что ведет к росту его предельных издержек. Другими словами, каждая дополнительная единица потока влечет все возрастающие затраты, и функция затрат становится выпуклой. Ниже для выпуклой функции затрат приведен вид оптимальной иерархии, управляющей симметричной цепью, и показано, что в достаточно большой организации оптимальная иерархия будет многоуровневой.

353

Покажем, что оптимальная иерархия может не быть древовидной. Пусть в несимметричной цепи имеется 4 ис-

полнителя и потоки f (wenv,w1) = 3, f (w1, w2) = 1, f (w2, w3) = 5, f (w3, w4) = 1, f (w4, wenv) = 3. Функция затрат менеджера

ϕ(x) = x3 , то есть затраты равны кубу контролируемых им

потоков. Оптимальная иерархия для этого примера изображена на рисунке 7.9.

Рис. 7.9. Оптимальная иерархия над асимметричной цепью

Данный пример иллюстрирует общее правило: пото-

ки наибольшей мощности должны управляться на нижних уровнях иерархии. В примере рассмотрен предельный случай, в котором для управления наибольшим потоком специально должен быть выделен менеджер нижнего уровня.

Следующий пример показывает, что расширение технологического графа может и не приводить к увеличению затрат на управление им.

Рассмотрим несимметричную цепь из 4-х исполните-

лей с потоками f (wenv, w1) = 1, f (w1, w2) = 5, f (w2, w3) = 1, f (w3, w4) = 5, f (w4, wenv) = 1. Функция затрат менеджера

имеет вид ϕ(x) = x2 , то есть затраты равны квадрату пото-

ков, которые контролирует менеджер. Сначала предположим, что к организации относятся только исполнители w2 и w3. Тогда существует только одна иерархия, изображенная на рисунке 7.10a.

354

Таким образом, затраты на управление могут снизиться при расширении технологического графа (включении новых исполнителей – части внешней среды). Это может служить одной из причин покупки нового бизнеса, который неприбылен сам по себе, но позволяет снизить расходы на управление основным бизнесом.

На практике имеется множество подобных фактов. Например, в России в 90-х годах многие заводы пищевой промышленности трансформировались в вертикально интегрированные агропромышленные компании после покупки сельхозпредприятий своего региона, которые не были прибыльными, но позволяли обеспечить бесперебойную поставку дешевого сырья.

Приведенные примеры показывают, что за счет небольшой модификации модели удается описывать многие интересные эффекты, имеющие место в реальных организациях.

Рассмотрим задачу об оптимальной иерархии, управляющей симметричной цепью. Можно доказать, что найдется дерево, которое будет оптимальной иерархией над симметричной цепью [37]. В этом дереве каждый менеджер управляет группой исполнителей, идущих в цепи последовательно. Если функция затрат выпукла, то у различных менеджеров этого дерева количество непосредственных подчиненных отличается не более чем на единицу.

Таким образом, можно не рассматривать недревовидные иерархии. То есть при поиске оптимальной иерархии достаточно ограничиться классом деревьев (рассмотренный выше пример показывает, что для несимметричной цепи это неверно).

Кроме того, можно рассматривать только такие деревья, в которых каждому менеджеру подчинена группа из исполнителей, идущих подряд. То есть каждый менеджер

356

должен управлять одним участком технологической цепи.

Попытка подчинить менеджеру несвязанные части производства увеличит затраты иерархии и приведет к ее неоптимальности.

Для степенной функции затрат можно найти оптимальную иерархию аналитически: пусть функция затрат

имеет вид ϕ(x) = xα ,α > 1. Тогда для симметричной цепи

оптимальной иерархией будет любое дерево, в котором у каждого менеджера ровно r* = (α +1) /(α −1) непосредствен-

ных подчиненных.

Если указанное значение r* нецелое, то необходимо

взять одно из двух ближайших целых значений.

Таким образом определяется оптимальная норма управляемости, то есть количество подчиненных одного менеджера. Этот параметр организации обсуждается во многих работах по менеджменту. При α ³ 3 выполнено (α +1) /(α −1) ≤ 2 , то есть оптимально дерево с мини-

мальным количеством непосредственных подчиненных r* = 2 .

Для того чтобы существовало дерево с r* непосредственными подчиненными каждого начальника, необходимо, чтобы n – 1 делилось нацело на r* −1. Например, при r* = 3 возможны следующие значения n = 3, 5, 7, 9…

Если выполнено n = r*l , то можно построить опти-

мальное симметричное дерево с l уровнями иерархии, в котором каждому менеджеру первого уровня подчинены r* исполнителей, каждому менеджеру следующего уровня

подчинено ровно r* менеджеров предыдущего уровня. Для r* = 3 и n = 9 такое дерево приведено на рисунке 7.11.

357

Рис. 7.11. Пример симметричного дерева над цепью

Указанная выше зависимость оптимального числа непосредственных подчиненных r* от α изображена на ри-

сунке 7.12. Из рисунка видно, что при приближении α к 1 оптимальная норма управляемости стремится к + ∞ . То есть по мере приближения функции ϕ(×) к вогнутой, двух-

уровневая иерархия становится оптимальной для все большего n, то есть один менеджер может управлять все большим числом исполнителей. При α ≤1 функция ϕ(×)

вогнута, то есть двухуровневая иерархия оптимальна при любом количестве исполнителей n. В этой иерархии один менеджер управляет всеми потоками.

При α ³ 3 имеем противоположную ситуацию. При любом n оптимальной будет иерархия, в которой норма управляемости минимальна и равна двум, то есть у каждого менеджера всего два непосредственных подчиненных. Общее количество менеджеров будет равно n – 1, то есть оптимально наибольшее количество менеджеров, каждый из которых управляет минимальным количеством потоков.

В большинстве реальных организаций иерархия представляет собой промежуточный вариант, при котором у каждого менеджера имеется от трех до десяти непосредственных подчиненных (в некоторых случаях число непосредственных подчиненных может доходить до нескольких сотен). Этим случаям соответствует диапазон 1 < α < 3 . На рисунке 7.12 приведен пример ступенчатого возрастания оптимальной нормы управляемости при уменьшении α от 3 до 1. Для любого r ³ 2 найдется некоторый диапазон, в котором оптимальной будет иерархия с r непосредственными подчиненными каждого менеджера.

Параметр α может интерпретироваться как степень нестабильности внешней среды. Если α = 1, то среда полностью стабильна, исполнители самостоятельно справляются со своими обязанностями и один менеджер может непосредственно управлять любым количеством исполнителей. При возрастании α нестабильность внешней среды приводит к увеличению затрат менеджера, поскольку ему приходится оперативно решать вопросы, связанные с изменением поставок, сбыта, условий производства и т. п. В результате затраты менеджера резко возрастают и оптимальной становится иерархия, в которой весь объем работы разделен между несколькими менеджерами. Случай α ³ 3 соответствует большой степени нестабильности, в которой для управления каждым потоком необходим отдельный менеджер.

359