Управление и оптимизация / Novikov - Teoriya upravleniya organizatsionnimi sistemami 2005

Предположим, что каждый из экспертов знает собственную эффективность Эi (x) и не знает эффективностей остальных экспертов (следовательно, каждый может искажать информацию), но все эксперты точно идентифицируют ситуацию x. Как центр может побудить экспертов предпочесть в любой ситуации наиболее эффективное решение?

Рассмотрим следующий механизм. Центр предлагает экспертам: «Пусть каждый из вас сообщает (остальным экспертам) пару (Ui (x), Эi (x)), где Ui – предлагаемое управление в ситуации x, Эi (x) – эффективность этого решения (i-й эксперт точно знает истинную эффективность того или иного решения, которое он предлагает в каждой ситуации). После этого вы сообщаете мне решение, имеющее в сложившейся ситуации наибольшую эффективность, а я стимулирую вас пропорционально эффективности этого предложенного решения».

Такой механизм действительно прост – эксперты сами между собой решают, какое решение предложить центру, то есть работают автономно. Возникает закономерный вопрос: а будут ли эксперты сообщать правду? Покажем, что сообщение достоверной информации в этом механизме является равновесием Нэша.

Если все эксперты сказали правду, то есть сообщили

пропорционально Э(x), то целевая функция i-го эксперта имеет вид:

300

Предположим теперь, что j-й эксперт пытается иска-

значение своей целевой функции. Если Эj (x) ¹ Э(х), то есть другой эксперт с номером, например k, предложил решение с большей эффективностью Эk(x) = Э(х) > Эj (x), то,

~ <

сообщая Эj (x) Эj (x) , j-й эксперт не изменит итогового решения (а следовательно, и значения своей целевой функ-

~ >

ции), а сообщая Эj (x) Эj (x) , то есть добиваясь того, что

=~

Э(x) Эj (x) , он только уменьшит свой выигрыш, так как

~ = < ~

Э(x) Эj (x) Эj (x) . То есть мы показали, что сообщение

достоверной информации – равновесие Нэша. Достоинством автономных механизмов экспертизы

является, во-первых, «разгрузка» центра, который получает сразу оптимальное (с точки зрения экспертов) решение, и, во-вторых, его неманипулируемость. При использовании автономных механизмов центр должен быть уверен, что эксперты точно идентифицируют ситуацию и не ошибаются при прогнозе эффективности своего решения.

Многоканальная структура системы управления как способ снижения неопределенности. Предположим,

что эффективность управления Э(u) есть функция неизвестного центру параметра q: Э(u) = u – u2/2q. Пусть центру известно, что параметр q принадлежит отрезку [a; b], то есть существует неопределенность, обусловленная незнанием истинного значения параметра. Какое управление

301

следует выбрать центру? Возможны различные подходы к решению этой задачи.

Первый подход заключается в том, что центр может выбирать управление, рассчитывая на наихудшее для него значение q (использовать метод максимального гарантированного результата). Действительно, если a > 0, то в наихудшей ситуации q = a. Выбирая u = a, центр максимизирует эффективность в этой ситуации: u = a и обеспечивает значение эффективности, равное Э(а) = а /2. В ряде случаев такой подход может оказаться слишком пессимистичным.

Если известно распределение вероятностей реализации параметра q, то центр может выбором управления максимизировать ожидаемое значение эффективности. Так, например, если q равномерно распределен на [a; b] (вероятности любых значений из этого отрезка одинаковы), то ожидаемое значение целевой функции равно

Если распределение вероятностей неизвестно центру или метод максимального гарантированного результата дает слишком заниженное значение эффективности, можно использовать процедуры экспертного оценивания для получения дополнительной информации (снижения неопределенности) о параметре q. Если эксперты обладают большей информацией о параметре q, чем центр, то можно попросить их сообщать непосредственно оценки параметра q. Соответствующая модель активной экспертизы рассматривалась выше (в этом случае d = a, D = b и возможно построение неманипулируемого механизма).

302

Альтернативой является использование многоканальных механизмов. Если центру известно, что зависимость эффективности управленческого решения, предлагаемого экспертами, имеет вид Эi (ui) = ui – (ui2 /2 q), и если центр уверен, что эксперт обладает более полной информацией о параметре q, то он может попросить экспертов сообщить не оценки неизвестного параметра, а то, какие управления выбрали бы они сами. Предположим, что центр получил от экспертов информацию об {ui}i=1, n . Теперь он может поста-

вить себя на место экспертов и решить, почему они выбрали те или иные значения ui. Если эксперты выбором ui стремятся максимизировать свою целевую функцию при имеющейся у них информации о параметре q (то есть ui = ui (q)), то, зная вид целевых функций экспертов, центр может на основании выбранных экспертами управлений ui «восстановить» информацию о q. Отметим, что если принятое центром решение затрагивает интересы экспертов, то необходимо учитывать дальновидность последних, которая может приводить к искажению информации.

Максимум целевой функции эксперта (при фиксированном q) достигается при u = q, точнее ui = qi, i =1, n , так

как каждый эксперт может иметь свое представление qi о значении параметра q. Значит, зная Эi (q) = q / 2, то есть зная ui = qi, центр получает информацию о (q1, q2, ..., qn). Эта дополнительная информация может позволить снизить неопределенность и принять более эффективное решение.

Таким образом, используя многоканальный механизм, центр может провести «косвенную» экспертизу (оценить q не непосредственно, а на основании косвенной информации), предсказав поведение экспертов, и снизить неопределенность за счет использования этого механизма.

303

5.4. Механизмы дополнительных соглашений

Оперативное принятие управленческих решений является предметом многих исследований в теории управления организационными системами: динамические модели управления ОС [22, 29, 51], механизмы оперативного управления проектами [29, 30], включающие компенсационные механизмы [5, 14], механизмы опережающего самоконтроля [14] и др. В настоящем разделе идеология анализа и синтеза механизмов оперативного управления иллюстрируется на примере механизмов дополнительных соглашений [35].

На практике распространены ситуации, когда взаимовыгодные для сторон параметры заключенного договора становятся невыгодными в силу изменившихся обстоятельств, внешних условий, ошибок прогнозирования и планирования и т. д. Тогда у одной (или одновременно у обоих) сторон возникает желание изменить параметры договора – внести дополнительные соглашения. Такую ситуацию называют перезаключением договора (пересо-

глашением контракта).

В соответствии с подходом, предложенным в [51], примем, что пересоглашение контракта происходит в том и только в том случае, если каждому из участников системы (заказчику – центру – и всем исполнителям – агентам) новый контракт обеспечивает не меньшие значения полезностей (целевых функций), чем старый контракт. Иначе говоря, каждый из участников обладает правом вето: если при новом контракте он получает полезность строго меньше, чем при старом, то он имеет право блокировать пересоглашение, и старый контракт остается в силе. Отметим, что так как заказчик выражает интересы системы в целом (эффективность управления определяется через его целевую функцию – см. выше), то приведенное выше условие

304

пересоглашения означает следующее: если пересоглашение произошло, то эффективность управления возросла (не уменьшилась). Таким образом, задача исследования условий пересоглашения контракта свелась к задаче определения условий того, что с учетом вновь поступившей информации возможно синтезировать контракт (найти параметры нового договора), обеспечивающий всем участникам не меньшие полезности.

В литературе по теории контрактов [48, 68] различают контракты с обязательствами и контракты без обязательств. В первом случае, если кто-то из участников нарушает условия контракта, то на него накладываются достаточно сильные штрафы (сильные настолько, что нарушение становится невыгодным). Поэтому в контрактах с обязательствами при рассмотрении механизмов пересоглашения необходимо сравнивать две ситуации: когда заказчик и исполнитель следуют условиям первоначального контракта и когда они (оба!) следуют условиям нового контракта. В контрактах без обязательств участники могут нарушать условия первоначального контракта, выбирая стратегии, которые являются оптимальными с учетом вновь поступившей информации. Ниже мы ограничимся рассмотрением контрактов с обязательствами.

Пусть функции дохода заказчика и затрат исполнителя зависят от неопределенных параметров – соответственно λ ³ 0 и r > 0: H(y, λ) и c(y, r). Содержательно λ может интерпретироваться как внешняя цена продукции, производимой исполнителем, r – как эффективность деятельности исполнителя. Допустим, что " λ ³ 0 H(0, λ ) = 0 и

" r > 0 c(0, r) = 0.

Таким образом, целевые функции участников системы можно записать в виде (см. также модели стимулирова-

305

(фактических или прогнозируемых). Вычислим оптимальное с точки зрения заказчика действие исполнителя:

Тогда оптимальные параметры исходного договора55 (в рамках компенсаторной системы стимулирования – см. раздел 2.1) – действие исполнителя x*(λ0, r0) и вознаграждение c(x*(λ0, r0), r0). В рамках исходного договора полез-

ность заказчика равна:

D(λ0, r0) = H(x*(λ0, r0), λ0) – c(x*(λ0, r0), r0), (4)

а полезность исполнителя равна нулю (в силу принципа компенсации затрат).

Фактические значения параметров λ и r могут отличаться от прогнозируемых λ0 и r0, что может приводить к тому, что фактические полезности заказчика и исполнителя

Выражение (5) определяет полезность заказчика при изменившихся условиях в рамках исходного договора, выражение (6) –полезность исполнителя при изменившихся условиях в рамках исходного договора, выражение (7) – полезность заказчика в новых условиях (при новом контракте, оптимальном в изменившихся условиях).

55 Напомним, что в рамках рассматриваемых теоретико-игровых моделей контракт (договор) определяется парой – («действие исполнителя»; «вознаграждение со стороны заказчика»).

306

Предположим, что функция затрат исполнителя монотонно убывает с ростом параметра r. Рассмотрим два случая.

В первом случае r < r0. Тогда полезность исполнителя d (l0, l, r0, r) < 0, и для него пересмотр условий договора выгоден. Для заказчика заключение договора с параметрами (x*(l, r); c(x*(l, r), r)) выгодно, если выполнено

Во втором случае r > r0. Тогда полезность исполнителя d (l0, l, r0, r) > 0, и для него пересмотр условий договора выгоден только если он при новых условиях договора получит полезность не менее d (l0, l, r0, r). Тогда условие выгодности перезаключения договора для заказчика можно записать в виде:

Таким образом, мы показали, что если функция затрат исполнителя монотонно убывает с ростом параметра r, то при r < r0 условием пересоглашения является выполнение

c(y, r) = y2/ 2 r, r > 0.

Тогда y0 = l0 r0 – оптимальное с точки зрения заказчика действие исполнителя при параметрах (l0; r0). Платеж в исходном договоре равен (l0)2 r0 /2. Заказчик при этом рассчитывает получить полезность F0(l0; r0) = (l0)2 r0 /2, а исполнителю гарантируется нулевая полезность.

Если значения параметров оказываются равными (l; r), то при r ³ r0 в рамках исходного договора заказчик получает полезность F(l0; l; r0; r) = l0 r0 (l – l0 /2), а

307

исполнитель – f(l0; l; r0; r) = (l0)2 r0 (r – r0) /2 r. Если же r < r0, то в рамках исходного договора полезность испол-

нителя отрицательна и он откажется работать, выбрав нулевое действие.

Если заключается новый контракт с действием y = l r и платежом l2 r/2, то полезность заказчика равна F(l; r) = l2 r/2, а полезность исполнителя – нулю. Рассмотрим возможные варианты.

Если r < r0, то исполнитель безразличен к перезаключению контракта, так как при любых значениях параметра l он получает нулевую полезность. Центру перезаключение выгодно, если выполнено следующее

условие: F(l; r) ³ F(l0; l; r0; r), то есть должно иметь

место l2 r – 2 l l 0 r0 + r0 (l0)2 ³ 0.

Если r < r0, то f(l0; l; r0; r) = (l0)2 r0 (r – r0)/2r £ 0, и

исполнитель, будет выбирать нулевое действие, если центр не предложит ему договор, в котором пообещает вознагра-

заказчику всегда выгодно, так как

F(l0; l; r0; r) = l0 r0 (l – l0 /2) ³ l2 r/2 – (l0)2 r0 (r – r0)/2r.

Итак, перезаключение договора произойдет (так как оно будет выгодно обеим сторонам, если при r < r0 выпол-

нено условие

l2 r – 2 l l0 r0 + r0 (l0)2 ³ 0.

Область значений параметров l и r, в которой возможно пересоглашение договора (заключение дополнительных соглашений) при начальных условиях l0 = 8, r0 = 8, заштрихована на рисунке 5.7.

308