Управление и оптимизация / Novikov - Teoriya upravleniya organizatsionnimi sistemami 2005

Рассмотрим теперь ряд примеров, в которых существенной является резервная полезность агентов.

Пример 6.2. Введем следующие предположения: це-

левая функция центра имеет вид: H(yN) = å yi , и y–i A–i

i N

функция затрат i-го агента ci (y) выпукла по yi Ai, i N = {1, 2, …, n}.

В качестве обоснования сделанных допущений можно привести следующее рассуждение. Пусть функция дохода

центра аддитивна, то есть H(yN) = åHi ( yi ) , где Hi (yi) –

i N

вогнутые функции. Тогда, делая замену переменных, то есть переходя к H(yN) = å yi , получим, что изменятся (остава-

i N

ясь выпуклыми) функции затрат агентов, что достаточно для условий существования (и единственности, если она обеспечивалась первоначально) максимума целевой функции центра. Другими словами, технологические связи между агентами при линеаризации функции дохода центра учитываются в несепарабельных функциях затрат агентов [47].

Перейдем к рассмотрению задач формирования состава ОС, последовательно усложняя рассматриваемые модели – от ОС с сепарабельными затратами агентов к ОС с несепарабельными затратами агентов (напомним, что несепарабельность затрат отражает взаимозависимость агентов – см. раздел 2.5).

Предположим, что затраты агентов сепарабельны, то есть ci = ci (yi), i N. Тогда, решая задачу стимулирования (см. раздел 2.5), получаем, что эффективность оптимального управления составом N равна:

320

Задача поиска оптимального состава ОС при этом заключается в поиске состава N, максимизирующего выражение (6) на множестве неотрицательных его значений.

В [43, 53] доказано, что в рамках введенных предположений решением задачи (6) является максимальный состав ОС, то есть N* = N′. Этот результат обусловлен тремя факторами: во-первых, в окрестности нулевого действия доход центра растет быстрее, чем затраты агентов; вовторых, центр имеет постоянный доход на масштаб производства (его функция дохода линейна, то есть не существует никаких технологических ограничений на число агентов, осуществляющих совместную деятельность в рамках данной ОС); и наконец, в-третьих, агенты получают в равновесии нулевую полезность (то есть они безразличны с точки зрения значения своей целевой функции между участием и неучастием в данной ОС и входят в состав ОС только в силу благожелательного отношения к центру).

Для того чтобы исследовать класс моделей, в которых оптимален состав ОС, отличный от максимального состава, рассмотрим последовательно модели, в которых имеется один из перечисленных выше трех факторов.

Предположим, что центр должен гарантировать i-му агенту в равновесии минимальный уровень полезности Uimax ,

если он включен в ОС, и минимальный уровень полезности Uimin , если он не включен в ОС, Uimax ³ Uimin , i Î N′.

Из результатов разделов 2.1 и 2.5 следует, что в рамках гипотезы благожелательности при сепарабельных затратах агентов минимальной системой стимулирования, реализующей действие y*, является следующая квазикомпенсаторная система стимулирования:

321

составов не является допустимым. Значит в состав ОС следует включать только тех агентов, доход от деятельности которых с учетом затрат на их стимулирование превышает затраты на выплату им компенсаций в случае исключения из состава ОС. Если значение целевой функции центра Φ* на этом составе строго отрицательно, то это значит, что значения резервных заработных плат агентов из набора N′ слишком велики по сравнению с тем эффектом, который приносит центру их участие в рассматриваемой ОС.

Пример 6.3. Пусть функции затрат агентов имеют

Рассмотрим теперь случай шести неоднородных агентов, параметры которых приведены в таблице 6.1.

322

Таблица 6.1

Параметры агентов в примере 6.3

Рассчитаем значения целевых функций центра при различных составах ОС (понятно, что при одинаковых Uimin

включать агентов в ОС следует в порядке убывания Φ*i ):

Φ*({1}) = –3, Φ*({1} {4}) = 0, Φ*({1} {2} {4}) = 2, Φ*({1} {2} {3} {4}) = 4, Φ*({1} {2} {3} {4} {5}) = 5, Φ*({1} {2} {3} {4} {5} {6}) = 5.

Таким образом, оптимальным является либо максимальный состав ОС, либо включение первых пяти агентов (в таблице шестой агент помечен серым цветом). При этом центр безразличен по отношению к включению или невключению в состав ОС57 шестого агента, так как для него

имеет место Φ6* = –U6min – потери от его участия в ОС в точности равны той компенсации, которую центру пришлось бы выплачивать ему, не включая в состав ОС.

Предположим теперь, что «плата за участие в организационной системе» {Uimax } понизилась и стала равна

нулю, а величины {Uimin } стали равны 3 (табл. 6.2).

57 В подобных случаях, наверное, целесообразно принять гипотезу благожелательного отношения центра к агентам – включение агента в состав ОС (трудоустройство), даже при обеспечении ему нулевого уровня полезности, является важным мотивирующим фактором.

323

Вычислим значения критерия эффективности для различных составов:

F*({1}) = –9,

F*({1} {2}) = –1,

F*({1} {2} {3}) = 6,

F*({1} {2} {3} {4}) = 12,

F*({1} {2} {3} {4} {5}) = 17,

F*({1} {2} {3} {4} {5} {6}) = 21.

Теперь центру выгодно включать в состав ОС все шесть агентов.

Рассмотрим теперь задачу формирования состава ОС в случае, когда центр использует унифицированную пропорциональную систему стимулирования (см. оценки эффективности и другие свойства пропорциональных систем стимулирования в разделе 5.1) со ставкой оплаты58 l < 1. Тогда действия, выбираемые агентами, есть yi* = xi (l), где

xi (×) = ci′–1(×), i N.

Целевая функция центра, представляющая собой разность между линейным доходом (см. соответствующее

58 Так как функция дохода центра прямо пропорциональна действиям агентов, то использование ставок оплаты, больших единицы, приведет к отрицательным значениям целевой функции центра и ее убыванию по любым допустимым действиям агентов.

324

предположение выше) и затратами на стимулирование, имеет при этом вид:

Легко видеть, что xi (×) – непрерывные возрастающие вогнутые функции, поэтому (9) также вогнутая функция. Следовательно, для каждого фиксированного состава ОС N существует единственная оптимальная с точки зрения центра ставка оплаты l*(N). Другими словами, оптимальной будет следующая стратегия центра – либо включать в состав ОС всех агентов, либо никого.

Для того чтобы уйти от полученного тривиального решения предположим, что у каждого агента существует

свой резервный уровень заработной платы Ui (отметим,

что речь идет о резервной заработной плате, а не соответствующей ей резервной полезности), то есть агент соглашается участвовать в ОС, только если его вознаграждение превышает резервную заработную плату. Таким образом, условие участия i-го агента имеет вид:

i Î N, относительно l и упорядочим агентов в порядке возрастания li. Значение целевой функции центра при включении в ОС первых k агентов равно:

Таким образом, решение задачи оптимизации состава свелось к упорядочению агентов в порядке возрастания li и

325

определению такого их числа k*, которое максимизировало бы целевую функцию центра (11).

Пример 6.4. Пусть в условиях примера 6.2 функции затрат агентов имеют вид: ci (yi) = yi2 /2ri, тогда

ξi (λ) = λ ri, Φ (yN) = (1 – λ) λ åri .

i N

Минимальные ставки оплаты, за которые соответствующие агенты согласятся участвовать в ОС, равны:

на участие в ОС – с параметрами, приведенными в таблице 6.3, то k* = 4, то есть оптимальным является состав ОС, включающий первые (в упорядочении λi) четыре агента.

Проведенный анализ задач формирования состава многоэлементных ОС с сепарабельными затратами агентов позволяет сделать вывод, что в этом классе моделей на основании имеющейся информации удается упорядочить агентов и решать задачу определения оптимальной комбинации агентов на множестве N комбинаций, а не на множестве всех возможных 2N комбинаций.

Откажемся от предположения о сепарабельности затрат. Тогда задача синтеза оптимального состава ОС примет вид:

326

где

при условии, что F (N*) ³ 059.

Как отмечалось выше, при решении задач типа (13) возникают две основные проблемы: высокая вычислительная сложность (большое число составов ОС, для которых необходимо вычислять максимальные эффективности управления и сравнивать их между собой) и необходимость конструктивного определения затрат агентов в зависимости от состава ОС и действий всех агентов, входящих в этот состав. Рассмотрим пример, иллюстрирующий специфику сформулированной задачи.

Пример 6.5. Пусть агенты однородны и имеют следующие функции затрат (|a| ≤ 1/n):

Если центр должен гарантировать каждому агенту

уровень полезности U , то оптимальной является квазикомпенсаторная система стимулирования (см. разделы 2.1 и 2.5), при использовании которой значение целевой функции центра равно:

где n = |N|, g(n) – множитель, отвечающий за убывание дохода центра с ростом числа агентов, включенных в состав ОС.

59 Данное ограничение может не рассматриваться, если Φ ( ) = 0 и

N′.

327

Определим действия агентов, наиболее выгодные для

Будем считать, что α < 0, тогда при g(n) = n–1/2 получаем, что

Максимизируя Φ (n) по n, получаем оптимальный размер ОС.

В заключение настоящей главы рассмотрим модель оптимизации состава ОС, использующую приведенные в [47] результаты экспериментального исследования индивидуальных стратегий предложения труда.

Напомним, что качественно эти результаты заключаются в следующем. Экспериментальные данные свидетельствуют, что на основании анализа реальных кривых τ (α) – зависимости желательной для агента продолжительности ежедневного рабочего времени τ от почасовой ставки оплаты α – можно выделить четыре качественно различных типа агентов, различающихся индивидуальными стратегиями предложения труда:

первый тип: желательная продолжительность рабочего времени не зависит или почти не зависит от ставки оплаты, начиная с некоторой ее величины α0;

второй тип: желательная продолжительность рабочего времени монотонно возрастает с ростом ставки оплаты;

третий тип: желательная продолжительность рабочего времени монотонно убывает с ростом ставки оплаты;

328

четвертый тип: желательная продолжительность рабочего времени сначала возрастает с ростом ставки оплаты, а затем убывает.

Предположим, что задача заключается в определении состава ОС, осуществляющей производство некоторой продукции. Существует заказ на суммарный объем производства R; рыночная цена единицы продукции известна и равна λ. На рынке труда имеется множество N′ агентов, способных производить требуемую продукцию с постоянной во времени интенсивностью δ. Набор N′ потенциальных претендентов характеризуется долей агентов того или иного из четырех перечисленных выше типов. Обозначим n10 – число претендентов первого типа (тип соответствует стратегии предложения труда), n20 – число претендентов второго типа, n30 – третьего типа и n40 – четвертого типа.

Очевидно, что выполнено

n10 + n20 + n30 + n40 = |N′|.

Предположим, что для каждого типа агентов известны: минимальный уровень резервной полезности Ui ,

i = 1, 4 , который должен быть обеспечен ему центром в случае найма на работу, и одинаковая для всех типов агентов минимальная ставка оплаты α0.

Задача управления (формирования состава) заключается в выборе набора агентов N N′ и установлении вектора ставок оплаты α = (α1, α2, α3, α4) агентов различных типов таким образом, чтобы максимизировать прибыль ОС, равную:

i N

где α i – ставка оплаты i-го агента, i N.

Формально задача управления выглядит следующим

329