Управление и оптимизация / Larichev - Teoriya i metodi prinyatiya resheniy 2000

ется (неявно), что человек может делать точные количествен­ ные измерения. Это далеко не так. Например, психологические исследования показали, что нет надежного способа количест­ венного измерения весов критериев [9]. Во-вторых, подход MAUT требует от ЛИР «немедленного» назначения всех основ­ ных параметров, не давая ему возможности провести исследо­ вания проблемы привычным для человека методом «проб и ошибок». Как отмечается в известной книге Д. Винтерфельда и В. Эдвардса [10], трудно предположить, что полезности и веро­ ятности просто находятся в головах ЛИР в ожидании, что их извлекут оттуда.

6. Подход аналитической иерархии

Подход аналитической иерархии (Analytic Hierarchy Pro­ cess - АНР) широко известен в настоящее время. Мы можем найти в журналах оживленные дискуссии между противниками

В п. 3 данной лекции было введено понятие различных групп задач принятия решений. Согласно этим определениям, метод МЛиТ наиболее целесообразен при решении задач второй группы. Действительно, построение функции полезности осущ;ествляется независимо от того, заданы или нет конкретные альтернативы. Ясно, что одни и те же диапазоны значений критериев возмож­ ны при различных альтернативах. Кроме того, диапазоны могут быть заданы без указания реальных альтернатив, как это бывает во второй группе задач принятия решений.

При подходе МЛиТ одни и те же усилия ЛПР по построе­ нию функции полезности могут быть затрачены при большом и малом числе альтернатив. Не всегда такой подход является обоснованным. В случае небольшого числа заданных альтерна­ тив (задачи первой группы) представляется разумным напра­ вить усилия ЛПР на сравнение только заданных альтернатив. Именно такая идея лежит в основе метода АНР [11].

6 1. Основные этапы подхода АНР

Постановка задачи, решаемой с помощью метода АНР, за­ ключается обычно в следующем.

Дано: общая цель (или цели) решения задачи; критерии оценки альтернатив; альтернативы.

101

Требуется: выбрать наилучшую альтернативу. Подход АНР состоит из совокупности этапов.

1.Первый этап заключается в структуризации задачи в ви­ де иерархической структуры с несколькими уровнями: цели - критерии—альтернативы.

2.На втором этапе ЛПР выполняет попарные сравнения элементов каждого уровня. Результаты сравнений переводятся

вчисла.

3.Вычисляются коэффициенты важности для элементов каждого уровня. При этом проверяется согласованность сужде­ ний ЛПР.

4.Подсчитывается количественный индикатор качества ка­ ждой из альтернатив и определяется наилучшая альтернатива.

Рассмотрим эти этапы подробнее применительно к основно­ му методу АНР, разработанному Т.Саати [11], используя для иллюстрации приведенный выше пример выбора площадки для строительства аэропорта.

6 2. Структуризация

Предположим, что комиссия по выбору места постройки аэ­ ропорта предварительно отобрала из нескольких возможных три варианта: А, В, К. Тогда структура решаемой задачи может быть представлена в виде, показанном на рис. 27.

Цели

Цель строительства аэропорта

прием и отправка большого числа

пассажиров

Критерии

Рис. 27. Иерархическая схема проблемы выбора места для аэропората

102

6.3. Попарные сравнения

При попарных сравнениях в распоряжение ЛПР дается шкала словесных определений уровня важности, причем каж­ дому определению ставится в соответствие число (табл. 8).

При сравнении элементов, принадлежащих одному уровню иерархии, ЛПР выражает свое мнение, используя одно из при­ веденных в табл. 8 определений. В матрицу сравнения заносит­ ся соответствующее число. Матрица сравнений критериев выбо­ ра площадки для аэропорта приведена в табл. 9. Матрица соот-

Т а б л и ц а 9

103

ветствует следующим предпочтениям гипотетического ЛПР: критерий «Стоимость» существенно превосходит критерий «Время в пути» и умеренно превосходит критерий «Количество людей, подвергающихся шумовым воздействиям»; критерий Сг умеренно превосходит критерий Сз-

На нижнем уровне иерархической схемы сравниваются за­ данные альтернативы (конкретные площадки) по каждому кри­ терию отдельно. Приведем эти сравнения в табл. 10.

Т а б л и ца 10

Относительная важность альтернатив по отдельным критериям

По критерию Сз (Количество людей, подвергающихся шумовым воздействиям)

6.4. Вычисление коэффициентов важности

Таблицы 9 и 10 позволяют рассчитать коэффициенты важ­ ности соответствующих элементов иерархического уровня. Для этого нужно вычислить собственные векторы матрицы, а за­ тем пронормировать их. Формула для этих вычислений: из­ влекается корень п-й степени (п — размерность матрицы срав­ нений) из произведений элементов каждой строки.

Так, из табл. 9 определяются коэффициенты важности кри­ териев. В последнем столбце таблицы приведены значения соб­ ственных векторов. Нормирование этих чисел дает: wi=0,65; W2=0,22; W3=0,13, где Wi - вес i-го критерия.

104

Таким же способом на основе табл. 10 можно рассчитать важность каждой из площадок по каждому из критериев. В таблице приведены веса соответствующей площадки по каждо­ му из критериев.

В книге Т. Саати (автора метода АНР) дается способ про­ верки согласованности суждений ЛПР при заполнении каждой из матриц - путем сравнения со случайно заполненной матри­ цей. Ясно, что при сравнительно небольших ошибках ЛПР ус­ ловие согласованности выполняется.

6.5. Определение наилучшей альтернативы

Синтез полученных коэффициентов важности осуществля­ ется по формуле

s.=i:w,v,'

где S — показатель качества j-й альтернативы; Wi— вес i-ro

критерия; Vji— важность j-й альтернативы по i-му критерию. Для трех площадок проведенные вычисления позволяют

Итак, альтернатива А оказалась лучшей.

6.6. Общая характеристика подхода АНР

Достоинством метода АНР, привлекающим внимание мно­ гих пользователей, является направленность на сравнение ре­ альных альтернатив.

Отметим, что метод АНР может применяться и в тех случа­ ях, когда эксперты (или ЛПР) не могут дать абсолютные оцен­ ки альтернатив по критериям, а пользуются более слабыми сравнительными измерениями. Метод АНР позволяет решить ряд практических задач [11].

Недостатки метода АНР неоднократно обсуждались в статьях различных авторов. Среди них наиболее существенны­ ми являются два. Прежде всего введение новой, недомини­ рующей альтернативы может в общем случае привести к изме­ нению предпочтений между двумя ранее заданными альтерна­ тивами (rank reversals) [12]. Весьма существенной проблемой

105

является, на наш взгляд, необоснованный переход к числам при проведении измерений, оторванность метода объединения оценок от предпочтений ЛПР.

Дальнейшее развитие подход АНР получил в виде методов мультипликативной аналитической иерархии [13] и метода MACBETH [14].

7. Методы ELECTRE ранжирования многокритериальных альтернатив

В конце 60-х годов группа французских ученых во главе с проф. Б. Руа предложила подход к попарному сравнению мно­ гокритериальных альтернатив, не основанный на теории полез­ ности. В отличие от MAUT оценка каждой альтернативы явля­ ется не абсолютной, а относительной (по сравнению с другой альтернативой). Так возник метод ELECTRE (ELimination Et Choix Traduisant la Realite — исключение и выбор, отражающие реальность). В настоящее время разработан ряд методов семей­ ства ELECTRE [15].

Методы ELECTRE направлены на решение задач с уже за­ данными многокритериальными альтернативами. Следователь­ но, они принадлежат к методам первой группы согласно приве­ денной выше классификации. В отличие от метода АНР в мето­ дах ELECTRE не определяется количественно показатель каче­ ства каждой из альтернатив, а устанавливается лишь условие превосходства одной альтернативы над другой.

Постановка задачи обычно имеет следующий вид:

Дано: N критериев со шкалами оценок (обычно количест­ венные), веса критериев (обычно целые числа), альтернативы с оценками по критериям.

Требуется: выделить группу лучших альтернатив.

7 1 Основные этапы методов ELECTRE

1. На основании заданных оценок двух альтернатив подсчитываются значения двух индексов: согласия и несогласия. Эти индексы определяют согласие и несогласие с гипотезой, что альтернатива А превосходит альтернативу В.

2. Задаются уровни согласия и несогласия, с которыми сравниваются подсчитанные индексы для каждой пары альтер­ натив. Если индекс согласия выше заданного уровня, а индекс несогласия — ниже, то одна из альтернатив превосходит дру­ гую. В противном случае альтернативы несравнимы.

106

3.Из множества альтернатив удаляются доминируемые. Оставшиеся образуют первое ядро. Альтернативы, входящие в ядро, могут быть либо эквивалентными либо несравнимыми.

4.Вводятся более «слабые» значения уровней согласия и несогласия (меньший по значению уровень согласия и больший уровень несогласия), при которых вьщеляются ядра с меньшим количеством альтернатив.

5.В последнее ядро входят наилучшие альтернативы. По­ следовательность ядер определяет упорядоченность альтернатив по качеству.

Рассмотрим эти этапы подробнее, используя в качестве ил­ люстрации все тот же пример выбора площадки для постройки аэропорта.

7 2. Индексы согласия и несогласия

В различных методах семейства ELECTRE индексы согла­ сия и несогласия строятся по-разному. Основные идеи построе­ ния этих индексов далее будут показаны на примере метода ELECTRE 1.

Каждому из N критериев ставится в соответствие целое число р, характеризующее важность критерия. Б. Руа предло­ жил рассматривать р как «число голосов» членов жюри, голо­ сующих за важность данного критерия.

Выдвигается гипотеза о превосходстве альтернативы А над альтернативой В. Множество I, состоящее из N критериев, раз­ бивается на три подмножества:

I — подмножество критериев, по которым А предпочти­ тельнее В;

1~ - подмножество критериев, по которым А равноценно В; I — подмножество критериев, по которым В предпочти­

тельнее А.

Далее формулируется индекс согласия с гипотезой о пре­ восходстве А над В. (В других методах семейства ELECTRE ис­ пользуются индексы сильного и слабого превосходства.)

Индекс согласия подсчитывается на основе весов критери­ ев. Так, в методе ELECTRE1 этот индекс определяется как от­ ношение суммы весов критериев подмножеств 1^ и 1~ к общей сумме весов:

с=

lelM

107

Индекс несогласия (1АВ С гипотезой о превосходстве А над В определяется на основе самого «противоречивого» критерия — критерия, по которому В в наибольшей степени превосходит А.

Чтобы учесть возможную разницу длин шкал критериев, разность оценок В и А относят к длине наибольшей шкалы:

d-B =max ,. /в' /л

где /д,/в ~ оценки альтернатив А и В по i- му критерию; Ц —

длина шкалы i-ro критерия.

Укажем очевидные свойства индекса согласия:

Приведем свойства индекса несогласия:

1)0<dAB< 1;

2)dAB сохраняет значение при введении более детальной шкалы по i-му критерию при той же ее длине.

Введенные индексы используются при построении матриц индексов согласия и несогласия для заданных альтернатив.

Предположим, что в задаче выбора места для строительства аэропорта заданы альтернативы:

Пусть веса критериев равны: Wi = 3; W2 = 2; \Уз = 1. Сохра­ ним те же длины шкал: Li = 100; L2 = 50; L3 = 45.

Матрица индексов согласия приведена как табл. 11, а мат­ рица индексов несогласия — как табл. 12.

108

7 3 Бинарные отношения. Выделение ядер

В методе ELECTRE 1 бинарное отношение превосходства задается уровнями согласия и несогласия. Если Сдв ^ Ci и (1АВ ^ <di, где Сь di — заданные уровни согласия и несогласия, то аль­ тернатива А объявляется лучшей по сравнению с альтернативой В. Если же при этих уровнях сравнить альтернативы не уда­ лось, то они объявляются несравнимыми.

С методологической точки зрения введение понятия несрав­ нимости было важным этапом развития теории принятия реше­ ний. Если оценки альтернатив в значительной степени противо­ речивы (по одним критериям одна намного лучше другой, а по другим — наоборот), то такие противоречия никак не компенси­ руются и такие альтернативы сравнивать нельзя. Понятие не­ сравнимости исключительно важно и с практической точки зре­ ния. Оно позволяет выявить альтернативы с «контрастными» оценками,как заслуживающие специального изучения.

Похожие идеи используются и в других методах семейства ELECTRE.

Важно подчеркнуть, что уровни коэффициентов согласия и несогласия, при которых альтернативы сравнимы, представляют собой инструмент анализа в руках ЛПР и консультанта. Задавая эти уровни, постепенно понижая требуемый уровень коэффици­ ента согласия и повышая требуемый уровень коэффициента несо­ гласия, они исследуют имеющееся множество альтернатив.

При заданных уровнях на множестве альтернатив выделя­ ется ядро неДоминируемых элементов, которые находятся либо в отношении несравнимости, либо в отношении эквивалентно­ сти. При изменении уровней из данного ядра выделяется меньшее ядро и т. д. Аналитик предлагает ЛПР целую серию возможных решений проблемы в виде различных ядер. В ко­ нечном итоге можно получить одну лучшую альтерйативу. При этом значения индексов согласия и несогласия характери­ зуют степень «насилия» над данными, при которых делается окончательный вывод.

109

в первое ядро входят альтернативы В и С, исключаются аль­ тернативы А и D, что легко устанавливается с помощью табл. 10 и 11. Альтернативы В и С, входящие в ядро, несравнимы при введенных уровнях Ci и di (согласия и несогласия). Их оценки противоречивы: альтернатива С превосходит альтернативу В по первому критерию, но существенно уступает по двум другим критериям. Изменим уровни согласия и несогласия: Сг > 0,5; d2 < < 0,2. Легко убедиться, что при введенных уровнях альтернатива В оказывается наилучшей из четырех альтернатив.

7.4. Общая характеристика подхода

Важным достоинством методов ELECTRE является поэтап­ ность выявления предпочтений ЛПР в процессе назначения уровней согласия и несогласия и изучения ядер. Детальный анализ позволяет ЛПР сформировать свои предпочтения, опре­ делить компромиссы между критериями. Использование отно­ шения несравнимости позволяет выделить пары альтернатив с противоречивыми оценками, остановиться на ядре, выделение которого достаточно обоснованно с точки зрения имеющейся информации. Трудности при применении методов ELECTRE связаны с назначением ЛПР весов. В ряде случаев при выделе­ нии ядер могут возникать циклы.

8. Системы поддержки принятия решений

Каждый из представленных выше подходов - MAUT, АИР, ELECTRE — реализован в виде компьютерных систем поддерж­ ки принятия решений, которые широко рекламируются и име­ ются в продаже. Существует несколько систем, основанных на MAUT: Logical Decisions [16], DECAID [17]. Подход АНР реали­ зован в виде систем EXPERT CHOICE, MACBETH [14], REMBRANDT [18]. Существует несколько компьютерных сис­ тем, реализующих методы из семейства ELECTRE [19]. В [4, 11, 15] описаны многочисленные применения методов MAUT, АНР и ELECTRE.

Выводы

1 Существуют две группы задач принятия решений В задачах первой группы осуществляется анализ заданных альтернатив В задачах второй группы находится решающее правило, позво­ ляющее оценить любые альтернативы. Разработаны многокри-

110