- •Дифференциальные уравнения
- •1.1 Основные сведения о дифференциальных уравнениях
- •1.2 Задача Коши. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения
- •1.3 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •1.4 Линейные уравнения первого порядка. Уравнение я. Бернулли
- •1.5 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •1.6 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •1.7 Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •1.8 Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка. Понятие общего и частного решений
- •1.9 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •1.10 Структура общего решения линейного уравнения второго порядка
- •1.11 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1.12 Линейные однородные дифференциальные уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами
- •1.13 Решение неоднородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью
- •1.14 Решение неоднородных линейных уравнений второго порядка методом вариаций произвольных констант
1.11 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка
, |
(1) |
где и постоянны.
Для нахождения общего решения уравнения (1) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему.
Будем искать частные решения уравнения в виде
,
где − некоторое число (предложено Л.Эйлером). Дифференцируя функцию два раза и подставляя выражения для , и в уравнение (1), получим:
, т.е.
, или
. |
(2) |
Уравнение (2) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (1) (для его составления достаточно в уравнение (1) заменить , и соответственно на , и 1).
В зависимости от природы корней характеристического уравнения придется рассмотреть три случая:
Случай 1. Корни характеристического уравнения (2) действительные и различные: .
В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции и . Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы), так как вронскиан
.
Следовательно, общее решение уравнения (1), согласно теореме 3, имеет вид:
. |
(3) |
Пример 1. Решить уравнение: .
Решение: Составим характеристическое уравнение: . Решаем его: , . Записываем общее решение данного уравнения , где и произвольные постоянные.
Ответ: .
Случай 2. Корни и характеристического уравнения (2) действительные и равные: , .
В этом случае имеем лишь одно частное решение .
Покажем, что наряду с решением уравнения (1) будет функция .
Действительно, подставим функцию в уравнение (1). Имеем: , .
.
Здесь, , так как есть корень уравнения (2); , так как по условию .
То есть функция является решением уравнения (1).
Частные решения и образуют фундаментальную систему решений: , действительно:
.
Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (1) имеет вид:
. |
(4) |
Пример 2. Решить уравнение: .
Решение: Составим характеристическое уравнение: . Решаем его: . Записываем общее решение данного уравнения , где и произвольные постоянные.
Ответ: .
Случай 3. Корни и уравнения (2) комплексные: , .
По формуле Эйлера: .
Рассмотрим функцию , так как второй случай отличается несущественно .
Убедимся, что − решение дифференциального уравнения (1).
,
.
Подставляя производные и функцию , в левую часть линейного однородного уравнения получаем:
.
Здесь применена теорема Виета, в нашем случае: , .
Аналогично для функции .
Осталось проверить, что функции и образуют фундаментальную систему решений: , , , .
,
так как , ( − комплексное число, а его мнимая часть).
Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (1) имеет вид:
, или
. |
(5) |
Пример 3. Решить уравнение: .
Решение: Составим характеристическое уравнение: . Решаем его: , . По формуле (5) получаем общее решение уравнения:
Ответ: .
Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (1) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (2) и использованию формул (3)−(5) общего решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов).