Дифференциальные уравнения
1.1 Основные сведения о дифференциальных уравнениях
Определение 1. Дифференциальным уравнением будем называть уравнение, связывающее аргумент, неизвестную функцию этого аргумента и производную этой функции, т.е. в самом общем виде дифференциальное уравнение может быть записано:
.
Определение 2. Старший из порядков производных входящих в дифференциальное уравнение называют порядком дифференциального уравнения.
В частности дифференциальное уравнение первого порядка запишется так:
|
(1) |
.
Определение 3.
Решить
дифференциальное уравнение,
значит найти такую функцию,
которая обратит это уравнение в верное
равенство.
Пример 1.
Покажем, например, что, функция
,
где
является решением дифференциального
уравнения
.
Действительно, при подстановке функции
в уравнение, она обращает его в тождество:
.
Заметим, что в общем случае при решении дифференциального уравнения первого порядка получаем не одну функцию, а целое семейство, зависящее от одного параметра.
Пример 2.
Решить уравнение:
.
Решение: Чтобы найти функцию, которая является решением данного уравнения необходимо проинтегрировать обе части уравнения:
.
Такое семейство
будет называть общим
решением дифференциального уравнения,
а для каждого конкретного значения
параметра будем получать частные
решения (для
указания конкретного значения параметра
используют дополнительные условия,
которые назначают начальные
условия).
Определение 4.
Общим
решением
дифференциального уравнения (1) называется
функция
зависящие от
и произвольной постоянной, если она
является решением уравнения (1) при любом
значении постоянной
.
Определение 5.
Условия
при
,
в силу которых, функция
принимает заданное значение
в заданной точке
называют начальными
условиями
решения и записываются
.
Определение 6.
Частным
решением
уравнения (1) называется функция,
которая получается из общего решения
при определённом значении постоянной
,
которое получается с помощью начальных
условий.
Вернемся к примеру
2. Функция
является общим решением дифференциального
уравнения. Найдем частное решение
данного уравнения, удовлетворяющего
начальным условиям:
.
Подставим начальные условия в общее
решение дифференциального, получим:
,
,
.
− частное решение
уравнение, удовлетворяющее данным
начальным условиям.
В наиболее общем случае однопараметрическое семейство кривых являющееся решение дифференциального уравнения первого порядка имеет вид:
.
Определение 7.
Уравнение
неразрешимое относительно
называют общим
интегралом
дифференциального уравнения
первого
порядка, а кривые входящие в данное
семейство называют интегральными
кривыми.
Основной задачей теории дифференциальных уравнений является отыскание всех решений данного уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс отыскания всех решений − интегрированием дифференциального уравнения.
Таким образом, мы
будем говорить, что получено решение
дифференциального уравнения, если
найдена неизвестная функция,
удовлетворяющая этому уравнению или
получен общий интеграл этого уравнения.
Определение 8. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.