3 Элементы теории графов

3.1 Основные понятия и определения

Во многих прикладных задачах изучаются системы связей между различными объектами. Математической моделью, позволяющей решать подобные задачи, является граф.

Определение. Графом называется система G=(V, E), где

V={v₁, v₂, …, v_n} – непустое множество вершин графа,

E={{v_i, v_j} | v_i, v_jV для некоторых i, j{1, …, n}} – множество ребер графа.

Пример.

1) Сеть улиц в городе: вершины – перекрестки, ребра – улицы;

2) блок-схемы программ: блоки – вершины, ребра – переходы от одного блока к другому;

3) электрические цепи;

4) молекулы химических соединений;

5) социальные связи.

Ребра вида {v_i, v_i} называются петлями. Одинаковые элементы множества E называются кратными (параллельными) ребрами. Число вхождений пары вершин {v_i, v_j} в множество E называется кратностью соответствующего ребра.

Замечание. Иногда для графа с петлями и кратными ребрами используют термин псевдограф, псевдограф без петель называют мультиграфом, а под собственно графом понимают мультиграф, все ребра которого имеют кратность, равную единице.

Если ребра графа задаются упорядоченными парами вершин, то граф называется ориентированным (орграфом). Ребра орграфа называют дугами. Таким образом, если G=(V, E) – орграф, то E={(v_i,v_j) | v_i,v_jV для некоторых i,j{1, …, n}}, т.е. EV².

Соответствующую графу G геометрическую конфигурацию, в которой вершины изображены кружочками, а ребра ­– линиями, соединяющими соответствующие вершины, будем называть изображением этого графа. Направления дуг в орграфе отмечаются стрелками на соответствующих линиях.

Пример.

Если e={v_i, v_j} – ребро графа G, то v_i, v_j называются концами ребра e, и говорят, что e соединяет вершины v_i, v_j. Если e=(v_i, v_j) – дуга орграфа G, то v_i называется началом, а v_j – концом дуги e, и говорят, что e исходит из вершины v_i и заходит в v_j.

Если вершина v является концом (началом или концом) ребра (дуги) e, то говорят, что v и e инцидентны. Два ребра, имеющие общую вершину, называются смежными. Две вершины смежны, если в графе есть соединяющее их ребро.

Степенью вершины v называется число ребер, инцидентных этой вершине. Обозначается deg v.

Вершина, степень которой равна 0, называется изолированной, а вершина со степенью 1 называется висячей.

Полустепенью исхода (захода) вершины v называется число дуг, исходящих из вершины (заходящих в вершину). Обозначается deg^– v (deg⁺ v).

Замечание. Если G – неориентированный псевдограф, то вклад каждой петли, инцидентной вершине v, в deg v равен 2. Если G – ориентированный псевдограф, то вклад каждой петли, инцидентной v, равен 1 как в deg^– v, так и в deg⁺ v.

Пример.

Пусть |V|=n, |E|=m.

Предложение 1 (лемма "о рукопожатиях"). Для любого псевдографа G

Предложение 2. Для любого ориентированного псевдографа G

О пределение. Маршрутом (путем), соединяющим вершины v₁ и v_k+1 (из v₁ в v_k+1) в графе (орграфе) G=(V, E) называется последовательность вида

v₁e₁v₂e₂v₃…e_kv_k+1 (*)

(где k1, v_iV, i=1, …, k+1, e_jE, j=1, …, k), в которой вершины и ребра (дуги) и для каждого j=1, …, k ребро (дуга) e_j имеет вид {v_j, v_j+1} ((v_j, v_j+1)). При этом v₁ называется начальной, а v_k+1 – конечной вершинами указанного маршрута (пути), а остальные вершины – внутренними. Говорят, что (*) – (v₁, v_k+1)-маршрут (путь).

Замечание.

1) Последовательность вершин в маршруте определяет на ребрах, входящих в маршрут, ориентацию.

2) Последовательность (*) можно однозначно восстановить как по последовательности e₁e₂…e_k, так и по последовательности v₁v₂…v_k+1 (если все e₁e₂…e_k имеют кратности, равные 1)

Пример.

Пусть e₁e₂…e_k – маршрут (путь) и для некоторой последовательности номеров i₁, i₂, …, i_r, где r1, , снова является маршрутом в графе G. Тогда называется подмаршрутом маршрута e₁e₂…e_k. При этом будем сговорить, что маршрут выделен из маршрута e₁e₂…e_k. Аналогично определяется подпуть, выделенный из пути орграфа.

Число ребер (дуг) в маршруте (пути) называется длиной маршрута (пути).

Маршрут (*) называется замкнутым, если v₁=v_k+1.

Замечание.

1) Далее всюду при подсчете числа вхождений вершин в замкнутый маршрут (путь) начальную и конечную вершины будем считать за одно вхождение этой вершины в маршрут (путь).

2) При замкнутом маршруте (пути) e₁e₂…e_k обычно считается, что последовательности e₁e₂…e_k, e₂…e_ke₁, …, e_ke₁e₂…e_k–1 – различные записи одного и того же маршрута (пути).

Незамкнутый маршрут (путь), в котором все ребра (дуги) попарно различны, называется цепью. Цепь, в которой все вершины попарно различны, называется простой цепью. Замкнутый маршрут (путь), в котором все ребра (дуги) попарно различны, называется циклом (контуром). Цикл (контур), в котором все вершины попарно различны, называется простым.

Пример.

Каковы минимальная длина простого цикла (контура) в (ориентированных) псевдографах, мультиграфах, графах?

Пусть ₁= v₁e₁v₂e₂v₃…e_k–1v_k, ₂= v_ke_kv_k+1…e_m–1v_m – пути в орграфе G, где k2, mk+1. назовем путь

_1₂= v₁e₁v₂e₂v₃…e_k–1v_ke_kv_k+1…e_m–1v_m

композицией путей ₁ и ₂. Аналогично определяется композиция маршрутов.