3.2 Задание графов матрицами

Основными матрицами, описывающими граф, являются матрица смежности и матрица инцидентности.

Пусть дан граф G=(V, E), |V|=n, |E|=m.

Определение. Матрицей смежности графа G называется квадратная матрица A_G размера n×n, в которой

Как по матрице смежности отличить орграф от неорграфа?

Замечание. Если G – мультиграф, то значение a_ij можно положить равным k, где k – кратность дуги (v_i, v_j).

Определение. Матрицей инцидентности неорграфа G называется матрица B_G размера n×m, в которой

Определение. Матрицей инцидентности орграфа G называется матрица B_G размера n×m, в которой

Пример. Построить граф с матрицей:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

С помощью введенных матриц удобно задавать графы для обработки на ЭВМ. Однако при большом количестве вершин матрицы могут оказаться слишком громоздкими. Другим способом представить граф в памяти машины является структура смежности: для каждой вершины графа составляется перечень ее последователей.

Свойства матриц смежности и инцидентности

1. Сумма элементов матрицы A_G, где G=(V, E) – мультиграф, V={v₁, v₂, …, v_n}, по i-ой строке (или по i-ому столбцу) равна deg v_i.

2. Суммы элементов матрицы A_G, где G=(V, E) – ориентированный псевдограф, V={v₁, v₂, …, v_n}, по i-ой строке и по i-ому столбцу соответственно равна deg⁺ v_i , deg^– v_i.

3. Пусть G=(V, E) – ориентированный мультиграф с непустым множеством дуг. Тогда

а) сумма строк матрицы B_G является нулевой строкой,

б) любая строка матрицы B_G является линейной комбинацией остальных строк;

в) ранг матрицы B_G не превосходит |V|–1;

г) для любого контура в G сумма столбцов матрицы B_G, соответствующих дугам, входящим в этот контур, равна нулевому столбцу.

4. Пусть G – мультиграф с непустым множеством ребер. Тогда при покоординатном сложении по модулю 2:

а) сумма строк матрицы B_G является нулевой строкой

б) любая строка матрицы B_G является суммой остальных строк;

в) для любого цикла в G сумма столбцов матрицы B_G, соответствующих ребрам, входящим в этот цикл, равна нулевому столбцу.

Самостоятельно обоснуйте!

Рассмотрим матрицу и обозначим ее элементы .

Теорема. Элемент матрицы графа (орграфа) G=(V, E) равен числу маршрутов (путей) в G длины k, соединяющих вершину v_i с вершиной v_j (из вершины v_i в вершину v_j).

Самостоятельно обоснуйте!

Следствие. а) В n-вершинном графе (орграфе) G=(V, E) существует маршрут (путь), соединяющий вершину v_i с вершиной v_j (из вершины v_i в вершину v_j)  элемент c_ij матрицы C= отличен от нуля.

б) В n-вершинном графе (орграфе) G=(V, E) существует замкнутый маршрут (путь), проходящий через вершину v_i  элемент c_ii матрицы C= отличен от нуля.

Замечание. Более экономичными в вычислительном отношении по сравнению с целочисленными матрицами являются булевы матрицы. Хранение их в памяти ЭВМ требует меньшего объема оперативной памяти, и логические операции над ними выполняются гораздо быстрее. Таким образом, устанавливать наличие (замкнутых) маршрутов (путей) в графе эффективнее обработкой булевых матриц.