Глава 2. Экспериментально-статистическое моделирование

Задача статистического исследования обычно сводится к построению математической модели изучаемого объекта – уравне­ния, связывающего параметры оптимизации с факторами:

Возможны 2 пути получения экспериментального материала: в результате проведения активногоилипассивного эксперимента.

Пассивный эксперимент– это такая организация проведения экспериментов, при которой величины воздействующих факторов и диапазоны их варьирования выбираются бессистемно, субъективно, иногда случайно.

Активный эксперимент– это такая оптимизация проведения экспериментов, при которой опыты ставятся по плану в соответс­твии с выбранной стратегией.

Методология математического планирования эксперимента дает в распоряжение исследователя оптимальную стратегию проведения многофакторного, активного эксперимента.

При этом преследуются следующие цели: минимизация числа опытов, оптимальное использование факторного пространства, достижение заданных свойств математической модели.

Факторное пространство– это многомерное пространство, по координатным осям которого отложены значения воздействующих факторов. Каждое измерение или опыт можно представить точкой в этом пространстве (см. рис. 2.1).

Математическое планирование эксперимента – это методология, обеспечиваю­щая экспериментально – статистическое исследование поведения объектов в условиях многофакторного воздействия на них.

При этом ставятся следующие задачи:

оптимизация многофакторного эксперимента (т.е., процедура вы­бора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью);

• построение полиномиальных моделей с заданными свойствами;

• принятие решений по результатам моделирования.

Рис. 2.1. Факторное пространство при активном и пассивном экспериментах.

Существует огромное количество задач, связанных с исполь­зованием и оценкой влияния факторов среды на биологический объект и, в первую очередь, на человека. Однако сложность ре­шения этих задач состоит в том, что воздействие окружающей среды, как правило, определяется комбинацией различных факто­ров. Факторами называются параметры, воздействующие на изуча­емый объект. При этом существенную роль играют эффекты взаимо­действия этих факторов, значительно усложняющие общую оценку их влияния. Рассмотрим два примера из области медицины и эко­логии. Влияние лечебного препарата на пациента определяется ком­бинированным влиянием многих факторов, среди которых можно вы­делить следующие: доза, лекарственная форма, кратность применения, длительность введения, состояние больного. Кроме того, обычно используется комплексная терапия, что существенно увеличивает количество воздействующих факторов. При этом воз­можны эффекты взаимодействия между воздействующими факторами, которые могут взаимно усиливать или тормозить действие друг друга. Таким образом, при исследовании эффективности и оптимизации терапевтического воздействия необходимо одновременно учитывать сложное комбинированное влияние многих факторов.

Другой пример: состояние человека зависит от содержания различных веществ в атмосфере, почве и воде, оказывающих на него комбинированное воздействие. Известные данные о влияние каждого из веществ не учитывают эффекты их комбинированного воздействия.

В результате весьма важной является проблема разработки и использования методов, позволяющих исследовать комбинированное влияние воздействующих факторов на объект исследования.

Одним из наиболее перспективных путей решения этой проблемы является применение экспериментально – статистических мето­дов, среди которых особое место занимает методология МПЭ (математическое планирование эксперимента).

Эта методология позволяет, во-первых, оптимальным образом поставить эксперимент и во-вторых, количественно описать реакцию исследуемого объекта на комбинированное воздействие факто­ров.

Влияние среды на организм человека определяется комбини­рованным действием многих факторов. В то же время организм отвечает реакцией по множеству параметров. В связи с этим объект исследования можно представить как сложную систему, объединяющую, совокупность входных и выходныхпараметров, как схематически показано на рис.2.2.

Такое представление системы, при котором ее внутренняя структура неизвестна, а определены лишь параметры входа и вы­хода, соответствует понятию "черный ящик".

Входные параметры (x₁,x₂, …,x_k), воздействующие на объект исследования, называются факторами. Существует большое разнообразие факторов, как по физической природе, так и по их характеристикам. Для целей моделирования факторы среды мож­но условно разделить на три группы. К первой группе относятся вредные факторы. Например, в экологии такими факторами являют­ся концентрации веществ, загрязняющих атмосферу, воду и почву. В биологии и медицине к вредным факторам можно отнести пато­генные воздействия на организм, например, влияние дозы возбу­дителя инфекции, облучения, отравления и т.п. В эргономике вредные факторы определяют ухудшение работы оператора, например, шум, вибрация и климатические явления. Во вторую группу входят защитные факторы, обеспечивающие компенсацию или защиту от влияния вредных факторов. Например, в медицине такими факторами являются доза и кратность примене­ния лекарственного препарата или физиотерапевтического воздейс­твия. В экологии к ним относятся конструктивные характеристики технических защитных средств против выбросов в окружающую сре­ду вредных для здоровья промышленных отходов. Третья группа факторов характеризует «фоновую» нагрузку на организм, включая сюда и климатическое влияние, например, атмосферное давление, влажность, время года и суток и т.п. Кроме того, в эту группу факторов можно включить и параметры исходного состояния организма.

Воздействующие факторы бывают управляемые и неуправляе­мые, а также учтенные и неучтенные, качественные и количест­венные. Управляемые факторы можно устанавливать и поддерживать в течение необходимого времени на выбранном уровне или менять их величины по заданной программе. Например, доза лечебного препарата является управляемым учтенным фактором, а концентра­ция вредного вещества в атмосфере – неуправляемым учтенным фактором. Параметры исходного состояния пациента – учтенные не­управляемые факторы. Изменения солнечной активности и атмосферного давления могут рассматриваться как неучтенные и неуправляемые воздействия на пациентов в клинике. Все эти особенности воздействующих факторов играют существенную роль в выборе аппарата моделирования и оценке реакции организма.

Количественные факторы – это факторы, которые можно оцени­вать количественно в соответствии с заданной числовой шкалой.

Требования к факторам, предлагаемые методологией МПЭ:

• управляемость фактора, т.е. возможность в течение опыта устанавливать величину фактора и поддерживать ее на выбранном уровне или менять по заданной исследователем программе;

• независимость факторов, т.е. возможность установления фак­тора на любом уровне вне зависимостей от уровней других факто­ров;

• совместимость факторов, т.е. необходимость возможности и безопасности их комбинаций.

Что же касается неуправляемых и неучтенных факторов, то основная задача состоит в исключении их влияния. С этой целью используются специальные приемы рандомизации, сводящиеся к случайной очередности проведения опытов в плане эксперимента. Используется также разбиение многофакторного эксперимента на блоки.

Выходные параметры (y₁,y₂, …,y_m), характеризующие результат воздействия факторов на «черный ящик», называются откликами, целевыми функциями или параметрами оптимизации. Отклики для удобства моделирования целесообразно разделить на 2 группы.

К первой группе условно можно отнести отклики, дающие интегральные оценки жизнедеятельности объекта, например, характеризующие работоспособность, длительность ее сохранения, общую оценку состояния организма и т.п.

Вторая группа откликов характеризует состояние организма как биологического объекта, Сюда относятся физиологические, биохимические и морфологические показатели, полученные к моменту времени t₁,t₂, …,t_q.

Можно выделить еще третью группу, куда бы вошли временные характеристики развития реакции и показатели эффективности применения защитных средств. Однако эти отклики можно условно отнести либо к первой, либо ко второй группе в зависимости от их роли в планировании организационных мероприятий или в оценке развития реакции.

В технических, технологических, биотехнических объектах выходные параметры связаны с эффективностью работы системы. В таких случаях выбирается основной параметр (целевая функция), которая является основной оценкой эффективности работы систе­мы. А остальные параметры должны удовлетворять определенным требованиям. При исследовании математических моделей выходные параметры отражают свойства моделируемой системы.

Математическая модель, построенная на основе проведения активного, спланированного эксперимента становится средством или "инструментом" для исследования изучаемой системы. В случае же пассивного эксперимента, такая модель обычно просто аппроксимирует экспериментальные данные. Она может и прогнози­ровать реакцию системы, но при условии проведения большого ко­личества опытов по сравнению с активным экспериментом, поэтому использовать такую модель, как средство для исследования и оптимизации влияния воздействующих факторов нерационально, т.к. она может дать значительную ошибку.

Постановка задачи и определение системы.

Существует 3 уровня объектов: клеточный (культура тканей, питательная среда для микробов и клеток), органный или организменный (животные, люди), популяционный – коллективы. При этом можно выделить 4 группы задач, в зависимости от объектов исследования:

1. Исследование и оптимизация комбинированного или комплексного влияния внешних факторов на биообъект: испытание биопрепаратов, оптимизация работы оператора, исследование и оптимизация жизнедеятельности человека в различных условиях, оптимизация режимов сохранения питательной среды, оптимизация лечения человека, оптимизация физиотерапевтического воздействия.

2. Оптимизация обще технологических процессов.

3. Структурно – функциональная оптимизация устройств медицинской техники.

4. Исследование математических моделей различных систем.

Выбор оптимального плана и задание уровней факторов.

Планирование эксперимента при уже выбранных факторах включает в себя 2 основные процедуры:

• задание количества значений каждого фактора, которые он будет принимать. Каждое такое значение называется уровнем фак­тора. Обычно факторы имеют от 2 до 3 уровней, планы первого порядка изменяются на 2-х уровнях;

• расчет уровней факторов, а именно верхнего и нижнего уровня для линейных моделей.

Но чтобы определить эти уровни, целесообразно задать нулевой уровень. Это исходная точка для построения пла­на, иногда ее называют центром плана. Чтобы найти верхний уро­вень необходимо к нулевому уровню прибавитьинтервал варьиро­вания, и наоборот, для нахождения нижнего уровня необходимо из нулевого уровня вычесть интервал варьирования. Удвоенная вели­чина интервала варьирования естьдиапазон изменения фактора.

Для упрощения записи плана, построения и анализа модели целесообразно избавиться от размерности факторов, т.е. привес­ти их значения к одному диапазону от -1 (минимум) до +I(макси­мум).

Для факторов с непрерывной областью определения это дела­ется с помощью следующих преобразований:

Прямое (кодированное) ,

Обратное (декодированное) ,

где: ,.

Например, значения фактора изменяются от 1 до 10:

В результате таких преобразований мы переходим от системы координат в натуральных значениях факторов к новой безразмерной системе.

Рассмотрим построение полного факторного эксперимента типа 2^k .

Количество опытов в плане (N) рассчитывается по следующей формуле N = 2^k, где к – количество факторов.

Значения факторов задаются на 2-х уровнях: минимальном (-1) и максимальном (+1).

Эксперимент, в котором реализованы все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом.

Условия эксперимента записываются в виде таблицы, которая называется матрицей планирования эксперимента.

Матрица планирования для 2-х факторного эксперимента будет выглядеть следующим образом.

Матрица планирования 2-х факторного эксперимента 1-ого порядка

Номер опыта	X1	X2	y
1	-1	-1	Y1
2	-1	+1	Y2
3	+1	-1	Y3
4	+1	+1	Y4

Здесь представлены все сочетания уровней факторов. Каждый столбец называется вектор–столбцом, а каждая стро­ка вектор–строкой.

В представленной матрице имеются 2 вектор-столбца незави­симых переменных (факторов) и один - зависимой переменной (отклик).

Графически такой план можно представить в виде точек в 2-х факторном пространстве, соответствующих вершинам квадрата в плоскости исследуемых переменных x₁иx_2,центром которого является начало координат для кодированных значений факторов:

Существует 3 наиболее распространенных приема построения матрицы.

1. Используется правило чередования знаков. В последнем или первом; столбце знаки меняются черев 1 строку, в следующем столбце через 2 строки, далее через 4 и т.д.

N	x1	x2	x3	y
1	-1	-1	-1	y1
2	-1	-1	+1	y2
3	-1	+1	-1	y3
4	-1	+1	+1	y4
5	+1	-1	-1	y5
6	+1	-1	+1	y6
7	+1	+1	-1	y7
8	+1	+1	+1	y8

2. Второй прием основан на том, что при достраивании нового фактора (например, от 2-х факторного плана) каждая комбинация уровней исходной матрицы встречается дважды в сочетании с нижним (-1) и верхним (+1) уровнями нового фактора, т.е. первые 2 столбца идентично повторяются, а последний столбец изменяется для половины опытов на нижнем (-1) уровне, а для другой половины – на верхнем уровне (+1):

N	x1	x2	x3	y
1	-1	-1	-1	y1
2	-1	+1	-1	y2
N	x1	x2	x3	y
3	+1	-1	-1	y3
4	+1	+1	-1	y4
5	-1	-1	+1	y5
6	-1	+1	+1	y6
7	+1	-1	+1	y7
8	+1	+1	+1	y8

3. Достройка kфакторного плана до более высокого порядка (например, 2-х факторного до 3-х факторного) осуществляется перемножением всех столбцов матрицы в исходном плане друг на друга, и в последующий столбец заносятся результаты данного перемножения для первой половины опытов, а для второй половины эти результаты берутся с обратным знаком:

N	x1	x2	x3	y
1	-1	-1	+1	y1
2	-1	+1	-1	y2
3	+1	-1	-1	y3
4	+1	+1	+1	y4
5	-1	-1	-1	y5
6	-1	+1	+1	y6
7	+1	-1	+1	y7
8	+1	+1	-1	y8

Геометрическая интерпретация полного факторного экспери­мента 2^kпредставляет собой гиперкуб, центром которого является центр области экспериментирования. Например, для 3-х факторно­го эксперимента это будет куб:

Опыты соответствуют вершинам куба и пронумерованы для матрицы. составленной по 1-ому правилу.

В результате проведения эксперимента в соответствии с построенной матрицей строится полиномиальная модель вида:

где k– количество рассматриваемых факторов.

Пример. Предположим необходимо исследовать лекарственный препарат. Начальные условия: доза препарата изменяется в пределах от 100 до 500мл., кратность введения 1 или 2 раза в сутки, длительность воздействия от 10 до 30 дней. При постановке пассивного эксперимента для получения необходимых данных необходимо перебрать все возможные комбинации взаимодействия факторов. Предположим, что доза изменяется с шагом – 100 мл., а длительность воздействия с шагом в 5 дней, тогда для получения необходимых данных необходимо провести не менее 50 опытов. При активном же эксперименте (на основании методологии математического планирования эксперимента) для получения необходимой информации достаточно провести N = 2^k= 2³= 8 опытов. Ниже в таблице 2.1 представлена матрица сочетания кодированных и натуральных значений рассматриваемых факторов.

Таблица 2.1

Матрица 3-х факторного эксперимента

N	x1	x2	x3	y
1	-1 (100)	-1 (1)	-1 (10)	y1
2	-1 (100)	-1 (1)	+1 (20)	y2
3	-1 (100)	+1 (2)	-1 (10)	y3
4	-1 (100)	+1 (2)	+1 (20)	y4
5	+1 (500)	-1 (1)	-1 (10)	y5
6	+1 (500)	-1 (1)	+1 (20)	y6
7	+1 (500)	+1 (2)	-1 (10)	y7
8	+1 (500)	+1 (2)	+1 (20)	y8

Примечание: в скобках представлены натуральные значения воздействующих факторов.

Модель, которая будет построена на основании данного плана, позволит получить значения взаимодействия этих факторов даже в тех диапазонах, где эксперименты не проводились.