- •Глава 1. Основные понятия и задачи моделирования.
- •Определение степени сложности и организации системы
- •Глава 2. Экспериментально-статистическое моделирование
- •Расчет коэффициентов полиномиальных моделей.
- •Статистическая оценка коэффициентов модели
- •Глава 3. Методы статистического анализа эксперимента.
- •82 49 18 48 09 50 17 10 37 51
- •Проверка однородности результатов измерений
- •Квантили распределения Колмогорова
- •Глава 4. Теоретическое моделирование.
- •Если t 0, то:
- •Пример.
- •Глава 5. Нечеткая информация и нечеткие выводы.
- •Нечеткие выводы.
- •Нечеткое продукционное правило Если высокий то открыть
- •Данные наблюдения
- •Установление функции принадлежности для вывода
- •(Знание) Если xестьA, тоyестьB
- •Глава 6. Обработка медико-биологических данных
- •Задача медицинской диагностики как задача распознавания образов
- •Обладает исследователь в предметной области (медик).
- •Отображение структуры данных в память эвм
- •Литература
Установление функции принадлежности для вывода
Норм Хр.геп. Агр.геп. Цирроз
1
0
0 10 20 30 40 50
Рис. 5.8. Шаги в нечетком рассуждении. = не используется.
1 1 1
0.59
0.42 0.52 0.62 0.34
0.60
Малое
Среднее
Большое
Рис. 5.9. Функции принадлежности для
предположений лев/прав отношения
Нечеткое множество Большое отмечается как 1 для чисел больше среднего значения для пациентов с острой формой болезни и как нуль для среднего значение минус одно среднеквадратичное отклонение. Нечеткое множество Среднее строится в виде треугольника. Среднее значение свойства для пациентов с хронической формой болезни отмечается как единица и любое значение в диапазоне среднее значение среднеквадратичное отмечается как нуль.
Для определения категории состояния пациента у объекта измерялись значения свойств сцинтиграммы и затем выполнялись 4 этапа.
1 этап. Вводилась нечеткость для измеренных четких значений свойств, т.е. определялась степень их принадлежности к членам предпосылки каждого правила.
2 этап. Вычислялся уровень «отсечения» для предпосылки каждого правила как результат операции МИНИМУМ для лингвистических значений свойства.
3 этап. Полученные «отсечением» заключения каждого из четырех правил сводились к одному нечеткому множеству посредством операции МАКСИМУМ.
4 этап. Дефаззификация была выполнена методом вычисления центра тяжести.
Рассмотренные до сих пор нечеткие выводы представляют собой восходящие выводы от предпосылок к заключениям:
(Знание) Если xестьA, тоyестьB
(Факт) xестьA’
(Вывод) y есть B’ (восходящий нечеткий вывод)
Такие выводы наиболее часто используются на практике. В последние годы в диагностических нечетких экспертных системах начинают применять нисходящие выводы:
(Знание) Если xестьA, тоyестьB
(Факт) yестьB’
(Вывод) x есть A’ (нисходящий нечеткий вывод)
По существу это метод моделирования с помощью уравнения нечетких отношений.
Рассмотрим нисходящий нечеткий вывод на примере диагностической системы. Пусть полное пространство предпосылок Xсостоит изmфакторов, а полное пространство заключений – изnсимптомов:
X= {x1,x2,,xm}, (5.22)
Y= {y1,y2,,yn} (5.23)
Возьмем упрощенную модель диагностики неисправности автомобиля при m= 2 иn= 3:
x1– неисправность аккумулятора,
x2– отработка машинного масла,
y1– затруднения при запуске,
y2– ухудшение цвета выхлопных газов,
y3– недостаток мощности.
Между каждым членом предпосылок xiи каждым членом заключенийyjсуществуют нечеткие причинные отношенияrij=xiyj. Все нечеткие отношения можно представить в виде матрицыRсmстроками иnстолбцами. То есть, имеем матрицу нечетких отношений:
R = [rij], rij [0, 1], i = 1, , m; j = 1, , n. (5.24)
Предпосылки будем рассматривать как входы, а заключения – как выходы нечеткой системы, показанной на рис. 5.10. Предпосылки и заключения можно рассматривать как нечеткие множества AиBна пространствахXиY. Отношения этих множеств можно представить в виде
B = A R (5.25)
где «» обозначает правило композиции нечетких выводов, например,max-minкомпозицию. При этом направление выводов является обратным по отношению к направлению выводов для правил. То есть, в случае диагностики задана матрицаR(знания эксперта), наблюдаются выводыB(симптомы) и определяются входыA(факторы).
В приведенном выше примере диагностики неисправностей автомобиля модель диагностики системы состоит из двух предпосылок и трех заключений: X= {x1,x2},Y= {y1,y2,y3}. Знания эксперта-механика преобразуются в матрицу нечетких отношений и имеют вид:
(5.26)
Пусть в результате осмотра автомобиля его состояние можно оценить как
B = 0,9/y1 + 0,1/y2 + 0,2/y3 . (5.27)
Необходимо найти причину такого состояния:
A = a1/x1 + a2/x2 . (5.28)
В этом случае формулы (5.27) и (5.28) можно представить в виде нечетких векторов-строк:
B= [0,9 0,1 0,2], (5.29)
A= [a1,a2]. (5.30)
Тогда формулу (5.25) можно представить в виде
(5.31)
либо, транспонируя, в виде нечетких векторов-столбцов
(5.32)
Здесь также в качестве правила композиции нечетких выводов «» изучаются различные способы, но традиционно чаще используют композицию максимум-минимум. В этом случае формулы (5.31) или (5.32) преобразуются в вид
0,9 = (0,9 a1)(0,6a2), (5.33)
0,1 = (0,1 a1)(0,5a2), (5.34)
0,2 = (0,2 a1)(0,5a2), (5.35)
что можно рассматривать как моделирование с помощью системы уравнений первого порядка, если заменить сложение на максимум, а умножение на минимум. Решим эту систему. Заметим, что в уравнении (5.33) второй член правой части не влияет на левую часть, поэтому
0,9 = 0,9 a1,a10,9 (5.36)
Из уравнения (5.34) получим
0,1 0,5a2,a20,1. (5.37)
Формулы (5.36) и (5.37) удовлетворяют третьему уравнению (5.35). Таким образом, получаем решение
1,0 a10,9, 0a20,1, (5.38)
т.е. лучше заменить аккумулятор (a1– мера неисправности аккумулятора,a2– мера отработки машинного масла).
На практике mиnпринимают значения от нескольких единиц до нескольких десятков, могут одновременно использоваться различные правила композиции нечетких выводов и сама схема выводов может быть многокаскадной.
Входы Выходы
R = (
r ij
)
i = 1 ~
m
j = 1 ~
n
x1oy1
x2oy2
xi o yj
xm o yn
A R B
(нечеткое (нечеткое (нечеткое
множество множество множество
в X) в X Y) в Y)
Рис. 5.10 Моделирование с помощью нечеткой системы :
В данном примере решение получено как значения в отрезке (выражение (5.38)), в результате можно предложить максимальное [1,0 0,1] или минимальное решение [0,9 0]. В общем случае очевидно, что для композиции максимум-минимум существует единственное максимальное и несколько «меньших» решений. На практике количество методов решения систем уравнений нечетких отношений значительно меньше, чем количество методов выводов по правилам, и в настоящее время пока не поставляются программы для решения таких систем.
В работе (Лосев) для решения задачи оценки качества лекарственных препаратов при их испытаниях на безвредность и переносимость использовались элементы теории нечетких множеств. На этапе применялся нечеткий восходящий вывод для классификации качества воздействия препаратов. Наэтапе выполнялось построение полиномиальных моделей, описывающих зависимость качества реакции от схемы применения фармакологических средств.
Оценка лекарственного препарата производилась по каждому показателю качества следующим образом.
Использовались две величины, определяющие качество реакции:
нормированная величина показателя на пике реакции di,
разность между значением показателя на пике реакции и его исходной величиной di.
На основе этих величин можно составить 2 группы функций принадлежности. Для решения поставленной задачи была разработана методика, основанная на методе Харрингтона и теории нечетких множеств. Для установления первой группы функций принадлежности использовалась шкала желательности Харрингтона, состоящая из подмножеств А, В, С, характеризующих величину исследуемого показателя на пике реакции (d). На множестве [0, 1] была определена лингвистическая переменная «желательность». Лингвистические значения этой переменной аналогичны смысловым значениям подмножеств А, В, С и, следовательно, смысловым значениям шкалы Харрингтона (рис. 5.11, а). Вторая группа функций принадлежности основана на множествахD,E,F,G, характеризующих изменение величины показателя по сравнению с исходным уровнем (d). Границы между этими множествами и вид соответствующих им функций принадлежности выбраны экспертным методом (рис. 5.11, б).
1
A
B
C
d
0
0.2
0.63
Рис. 5.11(а). Множества, характеризующие
исследуемый показатель на пике реакции.
1
D
E
F
G
d
-0.5
-0.1
0
0.7
Рис. 5.11(б). Множества, характеризующие
изменение величины показателя по
сравнению с исходным уровнем.
Таблица 5.1.
Логические правила классификации реакций.
Реакция |
Условие |
Критерий оценки:
|
очень хорошо |
AD |
|
хорошо |
A E BD |
|
удовлетворительно |
A F BE |
|
плохо
|
BF |
|
Очень плохо |
B G C F C G |
|
Алгоритм принятия решения состоит в следующем. Исследуется выборка объектов. Измеряются показатели состояния человека у каждого объекта выборки. Составляется матрица значений функций принадлежности (d), оценивающих степень принадлежности каждого показателя к каждому классу по всем объектам, и аналогичная матрица оценок функций принадлежности(d). На основании операции конъюнкции все объекты относятся по каждому показателю к определенному классу. Пример использования данной процедуры представлен в таблице 5.2 на основе результатов оценки реакции испытуемых по содержанию в крови сегментоядерных нейтрофилов в условиях действия препарата «реаферон».
Аналогичные таблицы составляются для всех показателей. Таким образом, могут быть получены качественные оценки воздействия препарата по каждому исследуемому показателю для каждого исследуемого объекта.
Полученные качественные оценки в дальнейшем преобразуются в баллы. В таблице 5.3 показано соответствие между классами и балльными оценками, причем лучшему классу присваивается меньший балл с целью последующей минимизации полученного результата по факторам.
После вычисления балльной оценки показателя у каждого испытуемого проводилось усреднение этой оценки по всем объектам выборки. Тем самым
Таблица 5.2.
Результаты классификации реакций.
N Испытуемых |
Оценка реакции |
Оценка | ||
d |
d |
| ||
1 |
0.61 |
-0.28 |
|
Плохо |
2 |
0.99 |
0.02 |
|
Хорошо |
3 |
0.89 |
-0.11 |
|
Удовлетвори-тельно |
4 |
0.49 |
-0.2 |
|
Плохо |
5 |
0.97 |
0.25 |
|
Очень хорошо |
6 |
0.61 |
0.24 |
|
Хорошо |
7 |
1.00 |
0.62 |
|
Очень хорошо |
определялся усредненный отклик каждого показателя на конкретную комбинацию воздействующих факторов.
Таблица 5.3.
Преобразование классов в балльные оценки
Классы типов реакций |
Балльные оценки |
Очень хорошо |
1 |
Хорошо |
2 |
Удовлетворительно |
3 |
Плохо |
4 |
Очень плохо |
5 |
На этапе для каждой оценки качества реакции по соответствующему показателю строилась полиномиальная модель, количественно описывающая зависимость балльной оценки реакции от комплексного влияния факторов, определяющих схему применения препарата, например: доза, кратность введения и т.д. Все расчеты выполнялись на основе методологии математического планирования эксперимента.
По результатам спланированного эксперимента строится система полиномиальных моделей:
В качестве функции отклика (ym) рассматривается балльная оценка качества реакции, полученная на основании использования функции Харрингтона и теории нечетких множеств.
Среди полиномиальных моделей выбирается целевая функция
y i = f i (x 1, x 2, , x n) ,
которая должна отражать эффективность препарата и стремиться к максимуму, например, фагоцитарный индекс, характеризующий неспецифическую резистентность организма. На остальные функции накладываются односторонние ограничения вида:
y i = f i (x 1, x 2, x n) y i max ,
где yi max– пороговая балльная оценка реакции.
В конечном итоге рассчитывается оптимальное сочетание значений воздействующих факторов, являющихся параметрами схемы применения препарата. Для решения задачи оптимизации были разработаны алгоритм и компьютерная программа на основе использования метода Дэвидона–Флетчера-Пауэлла. Этот метод переменной метрики применялся в сочетании с методом одномерного поиска ДСК-Пауэлла (Коггина).
Нечеткие и лингвистические переменные.
В теории нечетких множеств для описания объектов и явлений используются нечеткие и лингвистические переменные.
Нечеткая переменная характеризуется тройкой параметров (X, U, A) , где X – название переменной, U – универсальное множество, на котором определена переменная X, A – нечеткое множество на U, описывающее ограничения на значения нечеткой переменной X
Нечеткие числа – это нечеткие переменные, определенные на множестве действительных чисел.
Лингвистической называется переменная, значениями которой являются слова или предложения. Совокупность ее лингвистических значений (термов) составляет терм – множество. Лингвистическая переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная, так как значениями лингвистической переменной являются нечеткие переменные.
Лингвистическая переменная характеризуется набором параметров (, T, U, G, M), в котором- название лингвистической переменной; T – терм – множество, т.е. множество лингвистических значений (нечетких переменных), областью определения каждого из которых является множество U; G – синтаксическая процедура, позволяющая генерировать новые термы; M – семантическая процедура, позволяющая для каждой нечеткой переменной сформировать соответствующее нечеткое множество.
Пример. Лингвистическая переменная Возраст определена на U = [0, 100]; ее термами являются: молодой, средний, старый. Новые термы образуются с помощью союзов «и», «или» и модификаторов «очень», «вполне» и др. Смысл каждого лингвистического значения характеризуется нечетким множеством.
Л. Заде определил лингвистическую переменную истинность, значения которой назваллингвистическими значениями истинности. Трактовка истинности как лингвистической переменной приводит к нечеткой логике и приближенным рассуждениям.
Косвенные нечеткие выводы.
В настоящее время во многих экспертных системах используются косвенные нечеткие выводы. Рассмотрим их применение на следующем примере.
При разработке новых лекарственных препаратов требуется проведение квалифицированных исследований безвредности данных препаратов и эффективности их воздействия. Необходимо оценить влияние препарата на пациента по показателям жизнедеятельности организма человека и отрегулировать схему применения лекарства, определяемую воздействующими факторами, такими как доза, кратность введения, длительность применения и т.д. При этом измеренные числовые данные часто являются неточными из-за нечеткости измерений и интерпретации числовых значений.
Экспертами устанавливаются численные интервалы для характеристик нормальности состояния организма, определяются пределы значений показателей для «нормы» и для отклонений от «нормы». При этом границы интервалов являются размытыми вследствие зависимости от процедур измерения, от специалиста, проводящего измерения, и от используемых приборов. Для реализации этих проблем теория нечетких множеств предлагает метод нечеткого вывода с помощью лингвистических правил, заменяющих количественные модели, и косвенных методов.
В работе (Лосев, Чурносов) нечеткие выводы использовались для управления воздействующими факторами, определяющими схему применения препарата. Наблюдались показатели состояния организма на пике реакции и их отклонения от исходного состояния.
Знания экспертов могут быть представлены в виде лингвистических правил:
Правило 1: если Пок1 есть P1, то ∆uестьPu1
Правило 2: если ∆Пок1 есть P2, то ∆uестьPu2
Здесь Пок1 – показатель состояния организма на пике реакции; ∆Пок1 – отклонение значения показателя на пике реакции от его начального состояния; ∆u– рекомендуемое изменение фактора воздействия, например, дозы лекарственного препарата;P1,P2иPu1,Pu2– нечеткие множества, которые имеют функции принадлежности предпосылки и заключения, соответственно.
Функции принадлежности, построенные для набора используемых показателей состояния организма, для нормальных и патологических состояний, запоминаются как база знаний.
Нечеткий вывод можно представить следующим образом:
Здесь Правило является нечетким продукционным правилом типа «если…то…», в котором выражение, стоящее послеесли, является предпосылкой, условием, антецедентом, а выражение стоящее послето, заключением, операцией, действием.D1иC1– нечеткие (лингвистические) переменные.
Смысл формулы, представляющей нечеткий вывод, заключается в том, что при наличии нечеткого продукционного правила и D1в качестве нечеткого входного значения определяется заключение, нечеткое выходное значениеC1.
Нечеткий вывод является прямым, когда значение принадлежности нечеткого множества трактуется как значение истинности и вывод осуществляется при непосредственном использовании этого значения.
В приближенных рассуждениях можно применять нечеткое представление значения истинности и рассматривать лингвистические значения истинности (например: более или менее истинно, не очень истинно, совершенно ложь), выраженные посредством нечетких подмножеств единичного интервала.
Нечеткий вывод называется косвенным, когда он производится с использованием лингвистического значения истинности. Например, наблюдение «Пок1 есть D1» может быть представлено нечетким суждением «реакция исследуемого показателя удовлетворительна – довольно истинно».
В случае косвенного вывода определяется истинность нечетких суждений. Пусть - нечеткое множество единичного интервалаv= [0, 1], представляющее лингвистическое значение истинности предпосылки «Пок1 естьP1». Тогда «Пок1 естьP1» есть«Пок1 естьD1». По предпосылке правила «Пок1 естьP1» и наблюдению «Пок1 естьD1» определяется нечеткое множество степени истинности предпосылки. Определениеназывают определением обратного значения истинности, которое представляется формулой:
Нечеткое значение истинности заключения «∆uесть»выводится по степени истинностинечеткого условного предложения (продукционного правила)и нечеткому значению истинности предпосылки. С помощью логической системы Лукашевича можно представитькак:
Отсюда при заданных иможно определить. Обычнопредполагается истинным.
Далее по нечеткому значению истинности заключения «∆uесть» и нечеткому множеству заключенийможно определить нечеткое множествоC1заключений «∆uестьC1». Это называют определением значения истинности. Нечеткое множествоC1определяется следующим выражением:.
Аналогично определяется , когда в нечетком косвенном выводе используется Правило 2.
При объединении Правила 1 и Правила 2 функция принадлежности C(∆u) определяется с помощью операции конъюнкции.
Далее для получения четкого значения изменения воздействующего фактора определяется значение ∆u*, удовлетворяющее следующему выражению:, гдеU– полное множество выходных значений.
Рассмотрим определение обратного значения истинности в общем случае.
Пусть T– множество нечетких подмножествединичного интервала, представляющих лингвистические значения истинности, таких, что
,
где ↔ означает семантическую эквивалентность; X– переменная, принимающая значения в области определенияU;F– нечеткое подмножествоU;G– нечеткое подмножествоU, определенное следующим образом
u U
Здесь – нечеткое подмножествоV= [0, 1], представляющее лингвистическое значение истинности, аV– множество «численных» значений основной переменной ИСТИННОСТЬ.
Для решения обратной задачи определения истинности использовался принцип обобщения.
Пусть A– нечеткое подмножество области определенияUи пустьf– отображение изUв область определенияV. Принцип обобщения Заде утверждает, что образAподfявляется нечетким подмножествомV, определенным для всехvвVкак
для
в противном случае.
В частном случае, когда F– однозначное соответствие,
и однозначно определяется из знанияFиG.
В общем случае при решении обратной задачи определения истинности имеем множество Tнечетких подмножеств.0и1являются наименьшим и наибольшим элементомT, соответственно, и01для всех членовT.
Для всех vв [0, 1]
для
и в противном случае.
для
и в противном случае.
Для всех uвU
.
0и1обеспечивают наилучшим образом нижнюю и верхнюю аппроксимацию для определения истинности, когда точное решение не может быть найдено.
Построение нечетких множеств 0и1 представлено на рис. 5.12 и 5.13.
v
F
G
τ1
1
0
u
0
1
v
Рис. 5.12. Пример построения0и1
Рис.5.13.0и1из примера Рис.5.12.
В нечетких выводах измеренные данные наблюдения являются нечеткими из-за нечеткости измерений и интерпретации полученных значений.
Полагаем, что данное Dявляется нормальным нечетким множеством (SUP(D) = 1), имеющим симметричную треугольную функцию принадлежности, принимающую значения вокругd(Рис. 5.14).
1
0
d-k
d
d+k
U
Рис. 5.14. Представление
нечеткого числа.
Использование нечетких исходных данных позволяет употребить несколько мер совместимости для сопоставления образов. В статье (Sanchez) предложены три меры совместимости: мера возможности, мера необходимости и показатель возможности-истинности в качестве оптимистической, пессимистической и нейтральной меры совместимости образа и данных, соответственно.
Пусть Pнечеткое подмножество образа области определенияU, аD– данное, выраженное нечетким числом. Тогда
мера возможности:
П (PD)=SUP (P D) = SUP [ P (u) D (u) ].
uU
мера необходимости:
N (PD)=INF (P D’) = INF [ P (u) D’ (u) ] ,
uU
где P(u) иD(u) значения функций принадлежности нечетких множествPиD.
Показатель возможности-истинности является дополнением к обычным мерам возможности и необходимости и основан на использовании лингвистической переменной ИСТИННОСТЬ, определении обратного значения истинности, применении принципа обобщения и уравнения нечеткого отношения.
Эта мера позволяет произвести сравнение данных с образом в терминах истинности. Она определяется из двух нечетких подмножеств единичного интервала 0и1, представляющих лингвистические значения истинности и дающих нижнюю и верхнюю аппроксимации оценки:
(PD) = П ( 0 1) = P (d).
N (PD) (PD) П (PD)
При нейтральном выборе (PD) нечеткость данных больше не рассматривается и нечеткое числоDзамещается числомd,(PD) =P(d). Мера возможности наиболее употребляема, но имеет смысл при принятии решения учитывать все три меры.
На рис. 5.15 представлена оценка реакции показателя состояния организма по функциям принадлежности, построенным в соответствии с функцией Харрингтона, и с применением трех мер совместимости.
P– образ,D– данные: «вокруг»d
D’
= 1 - D
D
D’
хорошо P
2
3
1
Рис. 5.15. 1 – необходимость,
2 – возможность, 3 – показатель
возможность-истинность
Объединение трех мер совместимости находит полезное практическое применение в выводах по правилам с И нечеткими суждениями в антецеденте. Так для показателей состояния испытуемого объекта можно определить класс реакции организма по совокупности показателей следующим образом. Медицинское знание представляется составными нечеткими суждениями
Класс А Если (Пок1 есть Р1) И … И (ПокIесть Рi)… И (ПокNесть Рn).
Аналогично классу Aдля всех классов можно назначить оценки между 0 и 1, вытекающие из меры возможности, меры необходимости и показателя возможности-истинности.
Таким образом, связи между показателями и диагностическими группами выражаются посредством таблицы с показателями состояния в столбцах и классами реакции организма в строках.
При исследовании пациента получена следующая информация:
(Пок1 есть D1) И … И (ПокIестьDi)… И (ПокNестьDn).
В n– мерном пространствеU=U1´¼´Un, для данного класса А
P=P1´¼´Pnбудет определено как обычно:
для всех u= (u1,¼,un)ÎU,mP(u) =mP1(u1)Ù¼ÙmPn(un).
Аналогично для D=D1´¼´Dn:
для всех u= (u1,¼,un)ÎU,mD(u) =mD1(u1)Ù¼ÙmDn(un).
Можно сравнить состояние пациента (D) с медицинским знанием (P) посредством меры возможности (П), меры необходимости (N) и показателя возможности-истинности (r).
П (PD) = П (P1D1) П (P nDn) ,
N (PD) = N (P1D1) N (P nDn),
(PD) = (P1D1) (P nDn) = P1(d1) Pn (dN).
Сравнивая оценки классов, лежащие в диапазоне от 0 до 1, для всех трех мер, можно определить класс реакции объекта для оптимистических, пессимистических и нейтральных отношений.