Глава 1. Основные понятия и задачи моделирования.

Математическое моделирование — это методология исследования процессов и явлений на их математических моделях. При этом модель является средством для изучения моделируемого объекта и управления им. Математическое моделирование занимает определенное место в сложной иерархической классификации методов моделирования. Причем в некоторых случаях границы между различными его направлениями стираются. Так математическая модель может быть элементом более сложной модели, которая в целом не относится к классу математических моделей (например, имитационная модель). В свою очередь, существует большое разнообразие математических моделей, отличающихся по свойствам, назначению, степени отражения структуры и свойств исследуемой системы, по математическому аппарату.

Основные определения и классификация моделей.

Модель - это объект (материальный, математическая зависимость, программа для ПЭВМ и т.п.) находящийся в отношении подобия к моделируемому объекту.

Моделирование - исследование объектов познания на их моделях.

Существует 2 направления моделирования: материальное (предметное) и идеальное (информационное).

Материальная модель − некий материальный объект. Эти модели могут быть разделены на 2 основные группы: физические (вещественные) модели и аналоговые (энергетические).

Физические модели воспроизводят структуру исследуемого объекта и взаимоотношение его частей. Такие модели − уменьшенная или увеличенная копия объекта, допускающие его исследование с последующим переносом свойств модели на реальный объект с помощью теории подобия (например, макеты зданий, модели самолетов, молекулы вещества).

Аналоговые модели не являются копиями структуры копируемого объекта. Они могут иметь иную физическую природу, чем реальный объект. Главное, чтобы они формально воспроизводили свойства, связи и другие характеристики исследуемого объекта.

Можно выделить группу материальных моделей, являющихся одновременно и физическими и аналоговыми. Например, аппарат искусственного дыхания, искусственная почка и др. технические устройства.

Идеальное (информационное) моделирование основано не на математическом сходстве, а на аналогии − идеальной, информационной, мыслимой. Есть 2 типа идеального моделирования: интуитивное и знаковое.

Интуитивные модели − на интуитивном представлении об объекте исследования, не поддающемся формализации или не нуждающемся в ней. Например, жизненный опыт каждого человека можно рассматривать как интуитивная модель окружающего мира.

Знаковые модели основаны на знаковых преобразованиях какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, листинги программ, а также включают совокупность законов, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми отображениями и их элементами. Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование.

Математическая модель − система математических отношений, описывающих изучаемый процесс или явление.

Математическое моделирование - метод исследования процессов или явлений путем построения их математических моделей.

Среди знаковых моделей особо можно выделить группу имитационных моделей. В отличие от классических аналитических моделей, они необязательно описываются с помощью определенного математического аппарата. В процессе построения модели осуществляется переход от реальной системы к определенной логической схеме. При этом определяются компоненты системы, параметры, переменные, связи между элементами, функциональные зависимости. Последние могут быть представлены в виде самых разнообразных аналитических выражений. В конечном итоге модель компонуется в виде программы для ПЭВМ. Описание модели на языке программирования объединяет в единое целое все элементы системы, оживляет их и дает возможность ставить машинные эксперименты с моделью, имитируя поведение системы.

Модели можно классифицировать по следующим признакам: статические − динамические, дискретные − непрерывные, детерминированные − стохастические, сосредоточенные − распределенные, линейные − нелинейные, стационарные − нестационарные.

Модель называется статической, когда фактор времени не учитывается, либо его значение в функциональной зависимости зафиксировано (например, функциональная зависимость частоты сердечных сокращений (ЧСС) от величины интенсивности и продолжительности физической нагрузки сразу после окончания действия последней). Модель называется динамической, если величина функции зависит от процесса, его предыстории. В таких моделях можно учитывать влияние памяти и инерционности процесса. Предметом изучения является изменение рассматриваемого объекта во времени (например, функциональная зависимость динамики ЧСС от величины физической нагрузки, когда важно исследовать кривую нормализации частоты сокращений во времени).

Дискретность или непрерывность зависят от того, дискретными или непрерывными являются множества входных, выходных величин и значений фактора времени. Если хотя бы одно из этих множеств дискретно, то модель относится к классу дискретных моделей. Например, дискретной моделью по входу и выходу является модель реакции мышечного волокна на импульсное раздражение. Волокно может находиться в одном из 3 состояний: покоя, возбуждения и рефрактерности, когда оно не чувствительно к раздражению. Примером непрерывной модели, может являться функциональная зависимость концентрации инсулина в крови от дозы инъекции, когда концентрация зависит одновременно от времени и от дозы. Дискретные величины − это конечное множество величин, которые принимают «оторванные» друг от друга значения, допускающие нумерацию в числах натурального ряда. Непрерывные величины − принимают все значения из некоторого заданного интервала. Адекватными моделями непрерывной величины являются отрезок, луч, прямая линия.

Детерминированные модели − это модели, для которых задание входного воздействия однозначно определяет выход модели. Для стохастических (вероятностных) моделей задание входного воздействия неоднозначно определяет выход модели. Например, прогноз распространения инфекции можно осуществлять с помощью детерминированной модели в виде системы дифференциальных уравнений. В то же время, если ввести в эту модель коэффициенты, подчиняющиеся некоторым законам распределения, то модель становится стохастической. В таком случае при каждом повторном опыте с моделью при неизменных условиях его проведения результаты будут различными.

Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами относятся к дифференциальным уравнениям. Если модель описывает зависимость одной или нескольких неизвестных переменных от одного аргумента, чаще всего от времени, то такая модель называется моделью с сосредоточенными параметрами. Модель с распределенными параметрами обычно описывает зависимость неизвестной переменной одновременно от нескольких аргументов, например, времени и пространственных координат. Примером модели с распределенными параметрами является зависимость температуры потока крови в сосуде от времени и расстояния, пройденного любой точкой потока от начала движения. Обычно такие модели представляются в виде дифференциальных уравнений с частными производными.

Классификация «линейные − нелинейные» модели определяет линейность или нелинейность связи выходных и входных параметров. В биологических системах преобладают нелинейные связи, что существенно усложняет их моделирование. Однако часто они линеаризуются благодаря ограничению диапазона изменения величины аргумента. Например, изменение частоты импульсации нейронов под влиянием электростимуляции может носить линейный характер в допустимых пределах возрастания напряжения стимуляции.

Определение стационарности модели относится к моделированию случайных процессов.

Задачи моделирования.

В прикладном аспекте можно выделить следующие основные группы задач:

1. Компактная и формализованная запись представлений о наблюдаемых явлениях и процессах, характеризующих функционирование исследуемой системы.

В результате такой записи появляется возможность, базируясь на небольшом числе исходных постулатов, описать и исследовать широкий круг явлений. При синтезе модели осуществляется перевод описания процессов с языка соответствующей науки на язык математического моделирования. В итоге эти процессы сводятся к единой форме, что позволяет вскрыть общие структурно − функциональные характеристики систем и более глубоко проникнуть в сущность процессов и явлений. Таким образом, становится возможным заимствовать достижения в изучении аналогичных систем из тех наук, где имеется больший прогресс в данном направлении. Например, динамические процессы ряда систем в физике, электротехнике и биологии можно исследовать с помощью одинаковых по структуре моделей в виде дифференциальных уравнений 2-го порядка, описывающих перемещение груза, прикреп­ленного к пружине, изменение электрического напряжения на выходе звена, состоящего ив емкости и сопротивления, а также динамику выходных характеристик биологического объекта при дозированном внешнем воздействии.

2. Проверка гипотезы о функционировании системы.

В биологии и медицине гипотезу о функционировании системы нередко бывает сложно проверить в экспериментах на живом объекте. В этом случае на помощь исследователю приходит моделирование, которое позволяет на основе результатов экспериментов, проведенных с моделью, принять или опровергнуть выдвинутую гипотезу.

3. Выдвижение новых гипотез о функционировании исследуемой системы.

В процессе моделирования представляется возможным ста­ вить с моделью самые разнообразные эксперименты и, воспроизводя наблюдаемые на реальном объекте явления, выдвигать гипотезы, объ­ясняющие механизмы их возникновения. Таким образом, могут ставиться новые вопросы о функционировании системы и намечаться пути их решения в экспериментах на исследуемом объекте.

4. Исследование поведения системы в экстремальных условиях.

Применение метода моделирования позволяет смоделировать поведение объекта исследования при таких условиях, при которых проведение эксперимента с ним неприемлемо из-за опасности для его существо­вания. Например, с помощью моделирования можно оценить действие различных лечебных средств в случае отравления или радиационного поражения человека.

5. Управление исследуемым объектом, оптимизация его структу­ры, функции.

Имея модель процесса, можно с помощью классических методов оптимизации добиться наилучшего его развития. Например, таким образом, возможна оптимизация лечения больного.

6. Прогнозирование процессов.

Математические модели позволяют предвидеть или прогнозировать поведение системы в реальных ус­ловиях ее функционирования (влияние среды, старение, внешние воздействия и т.д.). Например, моделирование является мощным методом для прогнозирования развития эпидемического процесса.

7. Систематизация и сопоставление исследуемых объектов.

Математическое моделирование позволяет сопоставлять исследуемые объекты по совокупности параметров, характеризующих их структуру и функции, В результате становится возможным существенно повы­сить эффективность, как сравнительной оценки объектов, так и их систематизации. В процессе моделирования возникают задачи, свя­занные с наличием информации о модели. В таблице 1.1 представлены 4 типа таких задач.

Таблица 1.1

Задачи моделирования в зависимости от информации о модели

Тип	Задача	Урав-нение	Пара-метры	Воз-дейс-твие	Реак-ция
1	Анализ (прямая задача)	+	+	+	?
2	Анализ (обратная задача)	+	+	?	+
3	Синтез	+	?	+	+
4	Индукция	?	?	+	+

В задачах 1-го типа осуществляется оценка реакции объекта на внешнее воздействие. В задачах 2-го типа необходимо воспроизвести воздействие на объект по известной его реакции на это воздействие. Задачи 3-го и 4-го типов связаны с процессом построения мо­дели.

Общий алгоритм моделирования.

Процесс исследования биологического объекта на основе мето­дов математического моделирования можно представить в виде после­довательности этапов, определенным образом связанных между собой (рис.1.1). Постановка и решение частных задач на каждом этапе

исследования зависят от результатов предыдущих этапов, с одной стороны, и определяют дальнейший процесс, с другой. Таким образом, всю процедуру моделирования можно рассматривать как сложную систему.

Постановка задачи математического моделирования и идентификация объекта исследова­ния как системы.

При постановке задачи математического моделирования любой биологический объект, даже кажущийся простым, необходимо расс­матривать как сложную систему.

Существует более 40 различных определений понятия "систе­ма". Наиболее общим из них является следующее определение: система − это совокупность элементов и отношений между ними, образующая единое целое.

Систему можно представить как совокупность двух множеств: входов (X) , выходов (Y) и отношений между ними (X*Y) , формали­зующих связь между входами и выходами.

Элемент системы − объект, входящий в систему в качестве от­носительно самостоятельной единицы, неделимой по отношению к за­данному уровню моделирования.

Общие свойства системы − целостность, структурированность, целенаправленность.

Целостность (единство) означает, что система отделена от внешней среды и взаимодействует с ней через входы и выходы.

Структурированность означает, что система включает в себя множество подсистем, определенным образом связанных и взаимодейс­твующих между собой. Для биологических систем характерна многоу­-ровневая, иерархическая организация. Это значит, что элемент исс­ледуемой подсистемы можно рассматривать как подсистему более низ­кого уровня и, наоборот, подсистема низкого уровня превращается в элемент системы более высокого уровня.

Целенаправленность предполагает наличие цели, в соответствии с которой функционирует исследуемая система.

Например, для подсистемы иммунной защиты организма элемента­ми являются иммунокомпетентные клетки, выполняющие различные функции и определенным образом связанные между собой. Вход под­системы − это подмножество патогенных микроорганизмов. Выход − степень нейтрализации или уничтожения этих микроорганизмов. Цель функционирования подсистемы − защита организма от патогенного воздействия указанных факторов. Если перейти на клеточный уро­вень, то каждая иммунокомпетентная клетка (элемент) может рассматриваться как подсистема со своими элементами, характеризующими структуру клетки и внутриклеточные взаимоотношения. В таблице 1.2 в качестве примеров представлены различные системы, которые могут встречаться в медико-биологических исследованиях.

Таблица 1.2

Примеры идентификации систем в медицине и биологии

Система	Вход	Выход	Цель
Лечение больного	Лечебные мероприятия	Оценка состояния больного	Выздоровление
Модель заболевания и его лечения	Параметры лечения: доза препарата, время, кратность введения и т.п.	Параметры состояния	Оптимизация процесса лечения
Терморегуляция в организме	Температура окружающей среды	Температура тела	Поддержание температуры тела на постоянном уровне
Исследование реакции сердечно-сосудистой подсистемы на физическую нагрузку	Параметры физической нагрузки	Отклонение частоты сердечных сокращений от нормы	Оценка состояния сердечно-сосудистой подсистемы по параметрам динамики частоты сердечных сокращений
Моделирование эпидемического процесса	Параметры, характеризующие условия распространения возбудителя	Расчетный прирост числа зараженных	Исследование прироста. Оптимизация противоэпидемических мероприятий Прогнозирование процесса

Важным этапом моделирования является идентификация системы. Эта процедура включает в себя решение следующих задач:

• выявление причинно-следственных отношений (связей) в систе­ме (объекте) и сбор информации о механизмах явлений;

• определение системы параметров (входных, выходных, управля­емых, неуправляемых, зависимых от времени);

• определение степени, сложности и организации системы.

На рис.1.2 в общем, виде схематически представлен объект исс­ледования (условные обозначения): x₁, x₂, …, x_k – входные параметры; y₁, y₂, …, y_m ~ выходные параметры; u₁, u₂, …, u_n – параметры., харак­теризующие состояние механизмов функционирования системы.

Необходимо построить функциональные зависимости:

y_i = F_i (x₁, x₂, …, x_k; u₁, u₂, …, u_n)

Если система идентифицирована только с учетом входных и вы­ходных параметров, т.е. по принципу "черного ящика", то

y_i = F_i (x₁, x₂, …, x_k; t).