Поиск оптимальных решений в экономических задачах

Цель работы: изучить методы решения задач с использованием надстройки «Поиск решения», научиться проводить анализ оптимального решения.

Методические рекомендации

Процедура Поиска решения, реализованная в Excel, позволяет решить систему уравнений и неравенств с заданным критерием оптимизации.

Задача имеет оптимальное решение, если: 1) она имеет множество допустимых решений, т.е. решений, удовлетворяющих всем ограничениям и граничным условиям, и 2) критерий, по которому из допустимых выбирается оптимальное решение.

Общий случай математической модели для задачи оптимизации можно записать следующим образом:

Ц Ф: F = f (x_j)  max (min, Const)

ОГР: a_i  g_i (x_j)  b_i

ГРУ: d_j  x_j  D_j

i = 1, m; j = 1, n

В данной системе:

• х₁, х₂, … х_j — искомые переменные, n — количество переменных, m — количество ограничений.

• ЦФ — целевая функция или критерий оптимизации, показывает в каком смысле решение должно быть оптимальным. Возможны 3 вида назначения целевой функции: максимизация, минимизация, назначение заданного значения.

• ОГР — ограничения устанавливают зависимости между переменными.

• ГРУ — граничные условия показывают, в каких пределах могут быть значения искомых переменных в оптимальном решении.

Без критерия система, в которой n > m, имеет множество допустимых решений. Из них выбирается оптимальное решение, удовлетворяющее заданному критерию.

Существуют различные классы задач оптимизации, которые требуют разных методов решения. Классификация проводится по различным элементам математической модели: по исходным данным (детерминированные и случайные), по искомым переменным (непрерывные и дискретные), по видам зависимостей между ними. Если в задаче зависимости между переменными в целевой функции и ограничениях линейные, т.е. переменные входят в первой степени и с ними выполняются действия сложения или вычитания, то модель такой задачи является линейной. Если имеется хотя бы одна нелинейная зависимость, то модель — нелинейная.

Пример 2.1. Предприятие выпускает 3 вида продукции, расходуя при этом 4 типа ресурсов. Расход каждого ресурса на производство единицы продукции и удельная прибыль составляют:

	Продукция 1	Продукция 2	Продукция 3
Ресурс 1	4,5	2,6	2,4
Ресурс 2	6,2	4,2	4,0
Ресурс 3	5,3	3,8	3,5
Ресурс 4	3,1	2,0	1,8
Удельная прибыль	93,0	55,4	58,0

В распоряжении предприятия имеется 5100 ресурса 1, 8200 ресурса 2, 7000 ресурса 3, 3250 ресурса 4.

Найти оптимальный план выпуска изделий, при котором будет достигнута прибыль 120000, а общая сумма дополнительных ресурсов будет минимальной. Считать, что объем выпуска измеряется в условных единицах и не задавать условие целочисленности для переменных.

Решение:

1. Внесем исходные данные и формулы в ячейки рабочего листа:

В данной задаче искомыми переменными будут являться объемы выпуска трех видов продукции и дополнительные ресурсы четырех видов, поэтому резервируем 7 изменяемых ячеек В2:Н2. В ячейке I2 записана формула общей суммы дополнительных ресурсов, которая будет являться минимизируемой целевой функцией. В ячейке I3 — формула прибыли. В ячейках I5:I8 — формулы, вычисляющие расход ресурсов. Для удобства ввода формул и наглядности результата в ячейки E5, F6, G7, H8 внесены -1, т.е. дополнительный ресурс вычитается из имеющегося.

2. Заполним диалог Поиск решения:

Ограничения добавляются с помощью диалогового окна, вызываемого кнопкой Добавить:

Чтобы изменить или удалить уже имеющееся ограничение, нужно его выделить и нажать соответствующую кнопку в окне Поиск решения.

Данная задача является линейной, поэтому необходимо нажать кнопку Параметры и в появившемся диалоге установить флажок Линейная модель.

3. После нажатия кнопки Выполнить получим оптимальное решение:

Из полученного решения видно, что продукцию 2 выпускать не выгодно, продукции 1 и 3 должны быть выпущены в объеме 206,3 и 1738,1. При этом не­обходимо дополнительно иметь 31,7 ресурса 2, 177 ресурса 3 и 518,3 ресурса 4.

П ример 2.2. Требуется изготовить усеченный конус объемом V ≥ 35 л. Причем r может изменяться в пределах [1; 2].

Определить оптимальные размеры R, r, h, при которых длина сварного шва L будет минимальной.

Решение:

1. Внесем исходные данные и формулы в ячейки рабочего листа:

	A	B
1	R	2
2	r	1
3	h	4
4	V	= (ПИ()/3)*B3*(B1^2+B1*B2+B2^2)
5	L	= 2*ПИ()*B1+2*ПИ()*B2+КОРЕНЬ(B3^2+(B1-B2)^2)

Данная задача является нелинейной. Метод, который реализован в Поиске решения для нелинейных задач, требует, чтобы целевая функция исходно не была равна нулю. Для этого в изменяемые ячейки внесены произвольные значения.

2. Заполним диалог Поиск решения и после нажатия кнопки Выполнить получим оптимальное решение:

Задания: