Математический анализтеория рядов

Тогда ряд (21) сходится равномерно на множестве E.

По условию, последовательность

{

n

}n N

, x E -

ограниченная на

s ( x )

множестве E. Значит, существует число

M >0 такое, что

sn ( x )

≤M

при

любом n N и для всех x E .

Возьмем ε >0 - любое.

По условию,

→

v ( x ) →0 , x E . Следовательно,

n

n→∞

взятому ε >0 отвечает номер N,

зависящий только от ε такой, что как только

n > N , так сейчас же

v ( x )

<

ε

сразу для всех x из E (или v ( x ) <

ε

, ибо

n

6M

n

6M

n+p

p

≤2M (

)=

∑uk ( x ) vk ( x )

=

∑un+i ( x ) vn+i ( x )

vn+1( x )

+2

vn+p ( x )

k =n+1

i=1

= 2M (vn+1( x ) +2vn+p ( x ))

при любом p N и для всех x E , откуда, если n > N , получаем

n+p

3ε

∑uk ( x ) vk ( x )

<2M

= ε при любом p N и для всех x из E.

k =n+1

6M

n+p

любое, N зависит только от ε,

неравенство

∑uk ( x ) vk ( x )

< ε выполняется

k =n+1

при n > N сразу для всех x E и любом p N ).

* Теорема 9 (признак Абеля).

∞

Пусть имеется ряд вида

∑un ( x ) vn ( x ) , x E

(21). Рассмотрим

последовательность

n=1

n

}n N

{

, x E

(22)

v ( x )

и ряд

∞

∑un ( x ), x E .

(23)

существует число M >0 такое, что

vn ( x )

≤M

при любом n N и для всех x

из E.

сходится равномерно на E. Значит, взятому

ε >0

По условию, ряд (23)

отвечает номер N, зависящий только от ε,

такой, что как только n > N , так

сейчас же

u

( x ) +u

( x ) +K+u

( x )

<

ε

сразу для всех

x E

и при

n+1

n+2

n+p

3M

любом p N .

По лемме (глава 1, §10, п. 1°) имеем при n > N

n+p

p

ε

(

)

∑uk ( x ) vk ( x )

=

∑un+i ( x ) vn+i ( x )

≤

vn+1( x )

+2

vn

+p ( x )

k =n+1

i=1

3M

сразу для всех x E и при любом p N (

ε

выступает в роли числа L >0

3M

Так как

vn+1( x )

≤M ,

vn+p ( x )

≤M при любых n, p и для всех x E , то

n+p

получаем

∑uk ( x ) vk ( x )

< ε, если n > N , сразу для всех x E и при любом

p N .

k =n+1

ε >0

N

ε,

Здесь

-

любое,

зависит

только

от

неравенство

n+p

∑uk ( x ) vk ( x )

< ε

выполняется

при n > N ,

сразу для всех

x E

и при

k =n+1

любом p N .

Значит, ряд (21) сходится равномерно на множестве E.

§3. Степенные ряды

1°. Степенным рядом называется ряд вида:

∞

~

n

~

~

2

+K+cn

~

−a)

n

+K .

~

∑cn ( x −a)

= c0 +c1( x

−a) +c2 ( x −a)

( x

( 1 )

Здесь a и коэффициенты

c0 , c1, c2 , K, cn , K есть постоянные,

т.е. не

~

~

зависящие от x ,~числа.

Так как ряд ( 1 ) заменой x −a = x сводится к ряду:

∞

∑cn x n =c0 +c1x +c2 x 2 +K+cnx n +K ,

(1)

∞

Если степенной ряд ∑cn x n сходится в точке x 0 ( x 0 ≠0 ), то он сходится,

n=0

каждой точке x,

и

притом

абсолютно,

в

удовлетворяющей неравенству:

x

<

x 0

.

∞

cn x 0n →0

По

условию, ряд

∑cn x 0n

сходится.

Но тогда

(см.

n=0

n→∞

необходимое условие

сходимости

ряда).

А

значит,

переменная c

x n

n

0

существует число M >0 такое, что

c x n

≤M , для любого n N .

n 0

∞

x

n

Так как

ряд

∑M

сходится при

каждом

x,

удовлетворяющем

x 0

n=0

неравенству:

x

<

x 0

(как

геометрический

ряд), то

при

каждом таком x

удовлетворяющем неравенству:

x

<

x 0

. Теорема доказана.

∞

~

Следствие. Если степенной ряд ∑cnx

n

расходится в некоторой точке

,

x 0

n=0

~

то он расходится и в каждой точке x, удовлетворяющей неравенству:

x

>

.

x

0

∞

Рассуждаем от противного. Допустим, что ряд ∑cnx n сходится в какой-

~

n=0

нибудь точке x, для которой

x

. Но тогда по теореме 1 он должен

>

x 0

~

сходиться в точке x 0 , а это не так.

∞

~

2. Если ряд ∑cnx

n

, то он расходится и во всех

расходится в точке x 0

∞

Например,

ряд 1+∑nnx n сходится только в точке x =0. В самом деле,

n=1

пусть x ≠0 -

любое, закрепленное. Тогда, начиная с некоторого номера n,

будет, например,

n

x

>2

nnx n

>2n

nnx n

→+∞.

n→∞

Например, ряд 1+ x

+ x

2

+K+ x

n

∞

n

+K= ∑x

сходится при любом

1!

2!

n!

n=0

n!

в которой он расходится.

Ясно, что

x 0

≤

x1

.

x 0

<

x1

Обсудим случай, когда

. Из теоремы 1 и следствия из нее следует,

∞

что ряд ∑cnx n сходится,

и притом

абсолютно, для любого x,

n=0

∞

удовлетворяющего условию:

−

x 0

< x <

x 0

,

и что ряд ∑cnx n расходится для

любого x, удовлетворяющего условию:

x

>

x1

n=0

.

ðàñõ.

àáñ. ñõ.

?

ðàñõ.

?

− x1 = −b1

− x

2

− x

0

= −a

1

0

x 0 = a1

x

2

x1 = b1

x

∞

Положим x 0 =a1 , x1 = b1

(a1 < b1 ). В этих обозначениях: ряд (1)

∑cnx n

x (−a1,a1 )

n=0

сходится, и притом абсолютно, для любого

и расходится для

любого x, лежащего вне промежутка [−b1,b1 ].

О поведении ряда (1) в промежутке между точками −b1 , −a1 и в

промежутке между точками a1 , b1 ничего не известно. Обозначим через d1

длину этих промежутков. Ясно, что d1 = b1 −a1.

Возьмем точку x

2

, такую, что x

2

=a + b1 −a1

, т.е. x

2

= a1 +b1 .

1

2

2

Если точка x 2 оказывается точкой сходимости ряда (1),

то обозначаем

x 2 =a2 и полагаем

b1 = b2 .

В этом случае ряд (1)

сходится, и

притом

абсолютно, для любого x (−a2 ,a2 )

и расходится для любого x, лежащего вне

промежутка [−b2 ,b2 ].

Заметим, что a1 <a2 ;

b1 = b2 (a1 <a2 < b2 = b1 ).

Если точка x 2 оказывается точкой расходимости ряда (1),

то обозначаем

x 2 = b2 и полагаем

a1 =a2 .

И в этом случае ряд (1)

сходится, и притом

абсолютно, для x (−a2 ,a2 )

и расходится

для любого

x,

лежащего вне

промежутка [−b2 ,b2 ]. Замечаем, что здесь a1 =a2 ;

b1 > b2

(a1 =a2 < b2

< b1 ).

ðàñõ.

?

àáñ. ñõ.

?

ðàñõ.

1 случай

−a1

a1

b

x

−b

−a

2

0

a

2

1

1

(−b2 )

(b2 )

ðàñõ.

?

àáñ. ñõ.

?

ðàñõ.

2 случай

−b1

−b2

−a1

0

a1

b

b1

x

(−a2 )

(a2 )

2

Обозначим

через

d2

длину

этих

промежутков.

Ясно,

что

d2 = d1

d2

= b1 −a1 .

2

2

Продолжая этот процесс аналогичным образом неограниченно, мы

получим последовательность промежутков: (−an ,an ) , [−bn ,bn ] со свойствами:

1. d

= b −a

= b1 −a1

→0 ;

n

n

n

2n−1

n→∞

2. Ряд (1)

сходится, и притом абсолютно, для x (−an ,an )

и расходится

при любом x, лежащем вне промежутка [−bn ,bn ].

Важно отметить при этом, что

a1 ≤a2 ≤K≤an ≤K< b1 ,

(3)

b1 ≥ b2 ≥K≥ bn ≥K>a1,

(4)

т.е. что последовательность (3) - неубывающая и ограниченная сверху, а

последовательность (4) - невозрастающая и ограниченная снизу. Значит, обе

последовательности имеют конечные пределы.

Пусть lim an

= R (R - конечное число, большее нуля). Имеем

n→∞

b −a

= b1 −a1

b

=a

+ b1 −a1

lim b

= lim a

+0 = R .

n

n

2n−1

n

n

2n−1

n→∞ n

n→∞

n

Замечание. Мы рассмотрели ряд типа 3) в случае, когда x 0

< x1 . Если бы

реализовался случай,

когда

x 0

= x1 ,

т.е.

когда a1 = b1 , то нетрудно понять,

что тогда R = x 0

= x1 .

Из

изложенного

выше вытекает следующее утверждение:

для каждого

∞

степенного ряда ∑cnx n типа 3) существует такое положительное число R, что

n=0

ряд сходится, притом абсолютно, при x < R и расходится при x > R .

ðàñõ.

?

абс. сходится

?

ðàñõ.

−R

0

R

x

Как мы увидим дальше,

при

x = ±R

поведение степенного ряда может

быть различным.

∞

Таким образом,

областью сходимости степенного ряда ∑cnx n

типа 3)

n=0

(−R, R ],

является один из

следующих промежутков: (−R , R ) , [−R , R ],

∞

Замечание. Для степенных

рядов ∑cnx n

типа 1) естественно считать

n=0

R =0, а для рядов типа 2) - R = +∞.

Это связанное со степенным рядом число R называется радиусом

сходимости степенного ряда, а промежуток (−R , R ) - интервалом сходимости

этого степенного ряда.

∞

Замечание. Для степенного ряда общего вида ∑cn ( x −a)n интервалом

(a −R, a +R ) .

n=0

сходимости будет промежуток

Областью сходимости такого

ряда будет, очевидно, один

из следующих

промежутков: (a −R, a +R ) ,

[a −R, a +R ], (a −R, a +R ], [a −R, a +R ) .

ðàñõ.

?

абс. сходится

?

ðàñõ.

a −R

a

a +R

x

Доказательство

утверждения

1 получается

простым применением

∞

признака Даламбера к ряду ∑

cnx n

, составленному из модулей членов ряда

(1).

n=0

В самом деле, имеем

cnx n

lim

u

( x )

= lim

=

1

lim

c

n

n

.

u

( x )

c x n+1

x

c

n→∞

n→∞

n→∞

n+1

n+1

n+1

По условию, lim

cn

существует (конечный или бесконечный). Обозначим

c

n→∞

n+1