Математический анализтеория рядов

n

+p

же

∑uk vk

< ε

при

любом

p N .

И

здесь

отмечаем,

что

k =n+1

n+p

p

∑uk vk

= ∑un+ivn+i .

По условию ряд (8)

сходится.

Значит, взятому

ε >0

k =n+1

i=1

N

n > N

отвечает

номер

такой,

что

при

будет

выполняться

неравенство

u

+u

+...+u

<

ε

при любом p N (см. критерий Коши сходимости

n+1

n+2

n+p

3M

Bi

<

ε

числовых

рядов).

(В

обозначениях,

принятых

в

лемме:

,

i =1, 2,K, p ;

ε

L >0 ).

3M

выступает

в

роли

числа

По

лемме

3M

n

+p

p

ε

(

),

∑uk vk

=

∑un

+ivn+i

<

vn+1

+2

vn+p

если

n > N ,

а

p

-

любое

3M

k =n+1

i=1

n+p

натуральное.

Но

vn+1

≤M ;

vn+p

≤M .

Следовательно,

∑uk vk

< ε,

если

n > N , а p N - любое

ряд (4) сходится.

k =n+1

Замечание. Признак Лейбница является частным случаем признака

Дирихле.

∞

Действительно,

в

признаке

Лейбница

рассматривается

ряд

вида

−1ak ,

∑(−1)k

в

котором

a1 ≥a2

≥K≥an ≥K

и

lim ak = 0.

Положим

k =1

k →∞

(−1)k −1,

1−1+1−...+(−1)k −1

u

=

v

= a .

Имеем:

s

k

=

u +u +...+u

=

≤1,

k

k

k

1

2

k

k N ;

{v }

={a }

N

-

монотонно убывающая и такая, что v →0 .

k k N

k k

k

k →∞

Видим,

что

условия

признака

Дирихле

выполнены.

Следовательно,

ряд

∞

, x [0, 2π].

∑cos kx

(9)

k =1

k

∞

1

При x = 0 и x = 2π ряд (9) принимает вид ∑

. Это гармонический ряд.

k =1 k

k =1, 2,K ; vk =

1

k =1, 2,K . Последовательность {vk }

1

,

=

-

k

k N

k

k N

монотонно убывающая и такая,

что v

→0 .

У нас u ( x ) = cos kx . Значит

k

k →∞

k

sk = cos x +cos2x +cos3x +...+cos kx .

Умножим обе

части

последнего

равенства на 2 sin x

. Получим

2

2 sin x sk = 2 sin x

cos x +2 sin x cos2x +2 sin x

cos3x +...+2 sin x cos kx .

2

2

2

2

2

Так как 2 sin αcosβ = sin(β+α)−sin(β−α), то будем иметь

2 sin

x

s

3x

−sin

x

5x

−sin

3x

2

k

= sin

2

2

+

sin

2

2

+...+

(2k +1)x

−sin

(2k −1)x

= sin

(2k +1)x

−sin

x

.

+ sin

2

2

2

2

У нас x (0, 2π) . Значит, sin x ≠ 0. А тогда

2k +1

2

sin

x

−sin

x

1

sk =

2

2

sk

≤

,

для любого

k N

2 sin x

sin x

2

2

{

n

}n N

, x X .

(1)

f

( x )

F( x ) = lim fn ( x ) ,

x E .

(2)

F( x )

n→∞

n

Пример 1. Для последовательности

{

f

}n N

=

{

x n

}n N

( x )

X = (−∞, +∞); E = (−1,1];

x

F(x )= 0, x (−1,1).

−1

1

1,

x =1

{

n

Пример

2. Пусть

последовательность

f

}n N

задана на

промежутке [0,1]

( x )

и т. д.

В этом примере F( x ) ≡ 0 , x [0,1]. В самом деле, в точке x = 0

имеем

fn (0) = 0, для любого n N

lim fn (0) = 0 . Выберем и закрепим теперь

n→∞

1

любую точку x0

(0,1]. Всегда можно указать n0 N такое, что будет

< x0

n0

и, следовательно, будет:

fn ( x 0 ) = 0, для любого

n ≥ n0

( n N )

lim fn ( x0 ) = 0 . Так как точка x0 - любая,

принадлежащая (0,1], то получаем

n→∞

F( x ) = 0, для

любого x (0,1]. Было

отмечено

выше,

что F(0) = 0 .

Следовательно,

F( x ) ≡ 0 , x [0,1].

предельная функция последовательности

(1) на E, т.е. F( x ) = lim fn ( x ) ,

x E . Введем понятие “равномерно

n→∞

сходящейся” последовательности

числовая, сходящаяся к F( x1 ). Следовательно, взятому ε >0 отвечает номер

(обозначим

его N x 1 ) такой, что

при всех n > N x 1

будет выполняться

неравенство

F( x1 ) − fn ( x1 )

< ε

(номер N x 1 берем

наименьший из

возможных). Возьмем затем другое значение

x = x2

из

E

( x2 ≠ x1 ).

Последовательность

{

f

n

( x

)

- числовая,

сходящаяся

к

F( x

2

) .

2 }n N

Следовательно, взятому ε >0 (тому же самому)

отвечает номер N x 2 такой,

что при всех n > N x 2

будет

выполняться неравенство

F( x 2 ) − fn ( x 2 )

< ε

(номер N x 2

берем наименьший из возможных). Отметим, что, вообще говоря,

N x 2 ≠ N x 1 , так как при x = x2 наша последовательность может сходиться

“медленнее”

или “быстрее”, чем при x = x1 . Представим себе, что мы

для всех x из E. Если

же

такого

номера

N не

существует, то

последовательность называется неравномерно сходящейся на множестве E.

Если последовательность

{

f

n

}n N

сходится к

F( x )

на E равномерно

( x )

относительно x , то пишут

→

fn ( x ) →F( x ), x E .

Замечание. Пусть

n→∞

→

x [a, b].

(3)

fn ( x ) →F( x ),

n→∞

Тогда: если

f

( x ) →F(x ), x E

n

→

, то F( x )

C(E ).

n→∞

Возьмем ε >0 - любое. Выберем и закрепим на E любую точку x0 . По

→

Взятому

ε >0 отвечает номер N ,

условию fn ( x ) →F(x ), x E

n→∞

ε

зависящий только от ε, такой, что

F( x ) − fn ( x )

<

одновременно для всех x

3

его. По условию функция

fm ( x ) C(E )

в частности,

fm ( x ) непрерывна в

точке x0 . Следовательно,

взятому ε >0 отвечает δ >0 такое,

что как только

x E и

x − x0

< δ, так сейчас же

fm (x ) − fm ( x0 )

< ε. Имеем

3

F( x ) −F( x 0 ) = (F( x ) − fm ( x ))+(fm ( x ) − fm ( x 0 ))+(fm ( x 0 ) −F( x 0 ))

F( x ) −F(x 0 )

≤

F( x ) − fm ( x )

+

fm ( x ) − fm ( x 0 )

+

fm ( x 0 ) −F( x 0 )

.

Но

F( x ) − fm ( x )

<

ε

для

всех

x E ,

ибо

m > N

в

частности,

< ε ,

3

< ε, если x E

fm

( x 0 ) −F( x 0 )