9. Задание №14

9.1. Задание

Вычислить приближённые значения производных (первой и второй) для функции

f(x) = x² – cos πx в точке x = 0.26

Первую производную будем аппроксимировать центральным разностным отношением, а для второй производной используем формулу

(а) Найдите приближение к первой производной по указанному правилу. Используйте формулу центрального разностного отношения для значений , где k = -10, -9, -2, -1, 0, 1, 2, 9, 10.

(б) Вычислите приближение для второй производной. Шаг тот же.

В каждом случае сравните вычисленные приближения с истинными значениями производных. Можете ли вы объяснить, как на выбор наилучшего значения h влияет поведение функции f(x) вблизи точки x?

(в) Используйте технику экстраполяции, чтобы улучшить приближения, полученные в пунктах (а) и (б).

(г) Сделайте выводы, проанализировав погрешность вычислений. Результаты оформите в таблице, сравнив точные и приближенные значения производных, а также полученную ошибку

9.2. Описание метода решения задачи

Для вычисления первой производной в точке x воспользуемся центральным разностным соотношением:

, где , k = -10, -9,…….. -2, -1, 0, 1, 2, 9, 10.

Для вычисления второй производной в точке x воспользуемся формулой

,

которая получается, если дважды применить формулу центрального разностного соотношения.

Таблица 10 – Приближенное вычисление производной

k	h	f’(x)	Точное значение	Δ f’(x)	f’’(x)	Точное значение	Δf’’(x)
-10	0.000000000000000606	15077840.000	2.81012	15077837	0.000	8.75621	8.756
-9	0.00000000000000606	1507784.000		1507781.25	0.000		8.756
	……..
9	6055.45	0.51		2.29	2.00		6.76
10	60554.54	0.51		2.29	2.00		6.76

// не все значения взяты!!!

9.3. Вывод: при приближенном вычислении производной с различным шагом наибольшая погрешность была получена при наименьшем шаге. Это связано с большой погрешностью вычислений. С увеличением шага погрешность сначала уменьшается (преобладает вычислительная погрешность, которая уменьшается с увеличением шага), затем достигает оптимального значения, и вновь начинает расти (преобладает методическая погрешность, которая растет с увеличением шага).

Список использованной литературы

1. Ю.П. Боглаев – Вычислительная математика и программирование

2. Б.П. Демидович, И.А. Марон – Основы вычислительной математики