4. Задание №5
4.1. Задание
Дана таблица значений функции . Вычислить значения и в заданной точке x=1.1. Оценить погрешность вычислений, считая, что функция в таблице задана точно.
Таблица 6 – Задание функции .
-
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
1,00000
1,20500
1,42007
1,64538
1,88124
2,12815
2,38676
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
2,65797
2,94290
3,24293
3,55975
3,89537
4,25216
4,63285
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
5,04065
5,47918
5,95261
6,46561
7,02350
7,63219
8,29835
4.2. Метод решения задачи
Для вычисления первой производной в точке x воспользуемся центральным разностным соотношением:
,
где h
= 0.1
Для вычисления второй производной в точке x воспользуемся формулой
, которая получается,
если дважды применить формулу центрального
разностного соотношения.
4.3. Оценка погрешности вычислений
// Погрешность вычислений …………??????????……………
4.4. Вывод: первая и вторая производные в точке x=1.1 получились равными:
f’(1.1)≈ 3.4620499610900±0.0000000000001
f’’(1.1)≈ 2.117013931274±0.000000000001
5. Задание №6
5.1. Задание
Вычислить определённый интеграл с помощью формул:
-трапеций;
-Симпсона;
-прямоугольников (3 шт.) с числом узлов .
Оценить погрешность по формуле Рунге.
5.2. Описание метода решения задачи
Для вычисления
определенного интеграла воспользуемся
так называемыми квадратурными формулами.
Формула прямоугольников для приближенного
вычисления определенного интеграла от
непрерывной на [a,
b] функции
f(x) имеет
вид:
, 
, 
//не копировать формулы!!!!!
Формула трапеций
для приближенного вычисления определенного
интеграла от непрерывной на [a,
b] функции
f(x) имеет
вид:
,
,
Формула Симпсона
для приближенного вычисления определенного
интеграла от непрерывной на [a,
b]
функции имеет вид:
,
,
,
n=2m.
//не копировать!!!!!
5.3. Оценка погрешности квадратурных формул. Правило Рунге.
Для оценки
погрешности R
квадратурной
формулы для непрерывной на
[a,
b] функции
f(x),
можно использовать правило Рунге:
вычислить по
соответствующей
квадратурной формуле с шагом h=(b-a)/nи
с шагом h/2
значения Ikи
Ik/2,
и найти
приближенное значение интеграла и
оценку
погрешности по формулам:
, 
—
для формулы
прямоугольников;
,
—
для формулы
трапеций;
, 
—
для формулы
Симпсона.
Таблица 7 – Вычисление определенного интеграла с помощью квадратурных формул
|
In (n = 12) |
In/2 (n = 24) |
I |
R |
Формула трапеций |
0.5259 |
0.5294 |
0.5282 |
0.0012 |
Формула Прямоугольников |
0.5158 |
0.5257 |
0.5291 |
0.0033 |
Формула Симпсона |
0.5293 |
0.5305 |
0.5304 |
0.0001 |
5.4. Вывод: искомый определенный интеграл у меня получился равным:
I ≈ 0.528±0.002 – по формуле трапеций
I ≈ 0.529±0.004 – по формуле прямоугольников
I ≈ 0.5304±0.0001 – по формуле Симпсона
Как видно, наименее точной из этих формул является формула прямоугольников, наиболее точной – формула Симпсона.