14. Вычисление производных

Вычислить приближённые значения производных (первой и второй) для функции f(x), заданных в таблице 1.

Первую производную будем аппроксимировать центральным разностным отношением, а для второй производной используем формулу

(а) Найдите приближения к первой производной по указанному правилу для всех трёх функций. Используйте формулу центрального разностного отношения для значений ,

где k = -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

(б) Вычислите приближения для вторых производных. Шаг тот же.

В каждом случае сравните вычисленные приближения с истинными значениями производных. Можете ли вы объяснить, как на выбор наилучшего значения h влияет поведение функции f(x) вблизи точки x?

(в) Используйте технику экстраполяции, чтобы улучшить приближения, полученные в пунктах (а) и (б).

(г) Сделайте выводы, проанализировав погрешность вычислений. Результаты оформите в таблице, сравнив точные и приближенные значения производных, а также полученную ошибку. Приведите график ошибки в зависимости от k.

Пример выполнения работы

Ниже приводится пример выполнения задания для указанного варианта.

номер	Фамилия	1,14	2	3	4	5	6	7	лабор. работа		13
m		N функ.				x.	N примера	N примера	N примера	N функции	N примера

10

10

3

1

1,1

10

2

12

10

10

1 Задание №1

0. Задание

Найти корни уравнения f(x) = 0 методом итераций с точностью ε=10^-4 .

2. Идея метода простых итераций

Представим функцию f(x)=0 в виде x = φ(x). На каждом шаге x⁽ⁿ⁾ = φ (x^(n-1)). Значение x⁽ⁿ⁾ постепенно приближается к корню уравнения f(x)=0.

2. Построение итерационной функции

Преобразуем выражение

или , значит,

– искомая итерационная функция

2. Критерий окончания итерационного процесса

Требуемая точность будет достигнута, когда , где q = max|φ’(x)| на промежутке [0, 0.5].

Так как на промежутке [0, 0.5], то q = φ’(0) = 0.5

Таблица 1 – Поиск корня уравнения методом простых итераций.

n	x(n-1)	x(n)
0	0.0000	0.5000	1.0000
1	0.5000	0.4196	0.1609
2	0.4196	0.4437	0.0482
3	0.4437	0.4369	0.0135
4	0.4369	0.4389	0.0039
5	0.4389	0.4383	0.0011
6	0.4383	0.4385	0.0003
7	0.4385	0.4384	0.0001

Вывод: С помощью метода простых итераций за 8 шагов был найден корень уравнения f(x)=0, полученный корень:

x = 0.4384±0.0001