Лабораторная работа #4

5

Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ»

кафедра МО ЭВМ

Отчет

по лабораторной работе №4

Решение прямой и косвенной задач

линейного программирования

Выполнили: Сергеев М.В.

Воронин С.Ю.

Группа: 3352

Проверил: Балтрашевич В.Э.

Санкт-Петербург

2005г.

Лабораторная работа №4

РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ И ДВОЙСТВЕННОЙ ЗАДАЧ

Цели работы:

а. Постановка задачи линейного программирования и ее решение с помощью стандартной программы.

б. Исследование прямой и двойственной задачи.

Краткие общие сведения

Если исходная задача линейного программирования представлена в виде:

найти минимум функции ƒ = (c, x) на множестве

, (4.1),

то двойственная задача может быть сформулирована следующим образом:

найти максимум функции (B, λ) на множестве

где A^T — матрица, транспонированная к А.

Двойственная к двойственной задаче есть исходная задача.

Известно, что если существует решение исходной задачи, то существует решение и двойственной задачи, причем значения экстремумов совпадают. При этом координаты экстремальной точки для двойственной задачи являются коэффициентами чувствительности результата в исходной задаче по коэффициентам вектора B.

Видоизмененная исходная задача.

Найти min(C, X) на множестве { х: Х ≥ О, Аx ≥ В + ε * е_i }, где ε>0,

Если исходная задача имеет единственное решение, то при малых ε>0 и видоизмененная задача имеет решение; причем если - значение минимума, то существует . Оказывается, что β есть i-я координата оптимальной точки для двойственной задачи.

Для проведения лабораторной работы составлена программа, обеспечивающая решение задачи линейного программирования при задании с терминала исходных значений параметров.

Условие задачи

Для изготовления двух видов продукции P₁, P₂ используют три вида сырья: S₁, S₂, S₃. Запасы сырья, количество единиц сырья, за­трачиваемых на изготовление единицы продукции, а также величина прибыли, получаемая от реализации единица продукции, приведены в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Виды сырья	Запас сырья	Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции
		P1	P2
S1	20	2	5
S2	40	8	5
S3	30	5	6

Прибыль от единицы продукции первого вида составляет 50 р., второго вида - 40 р.

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Формализация прямой задачи и ее решение

Целевая функция: (C,X), С=(20,40,30), Х=(х1,х2,х3).

Требуется ее минимизировать.

Ограничения: АХ>=B, 2х1+8х2+5х3>=50,

5x1+5x2+6x3>=40.

Т.е. , B=(50,40).

Оптимальная точка:

х1=0.000,

х2=4.348,

х3=3.043,

при этом f=265.217.

Формализация двойственной задачи и ее решение

Целевая функция: (B,), B=(50,40), .

Требуется ее максимизировать.

Ограничения: А^T<=C, =20,

=40,

=30.

Т.е., C=(20,40,30).

Оптимальная точка:

1=3.913,

2=1.739,

при этом f=265.217.

Видоизмененная исходная задача

Найти min(C,X) на множестве {х: Х≥О, Аx≥В+ε*е_i}, где ε>0,

.

.

В=(50,40.001).

Оптимальная точка:

х1=0.000,

х2=4.348,

х3=3.044,

при этом f=265.219.

Видоизмененная двойственная задача

.

С=(50,40.001).

Оптимальная точка:

1=3.913,

2=1.739,

при этом f=265.219.

Протокол работы программы

1.

Решение задачи линейного программирования

-------------------------------------------

Целевая функция:

20 40 30 --> min

Ограничения:

2 8 5 >=50

5 5 6 >=40

Решение:

-------

x1= 0.000

x2= 4.348

x3= 3.043

Значение целевой функции f = 265.217

2.

Решение задачи линейного программирования

-------------------------------------------

Целевая функция:

20 40 30 --> min

Ограничения:

2 8 5 >=50

5 5 6 >=40.001

Решение:

-------

x1= 0.000

x2= 4.348

x3= 3.044

Значение целевой функции f = 265.219

3.

Решение задачи линейного программирования

-------------------------------------------

Целевая функция:

50 40 --> max

Ограничения:

2 5 <=20

8 5 <=40

5 6 <=30

Решение:

-------

x1= 3.913

x2= 1.739

Значение целевой функции f = 265.217

4.

Решение задачи линейного программирования

-------------------------------------------

Целевая функция:

50 40.001 --> max

Ограничения:

2 5 <=20

8 5 <=40

5 6 <=30

Решение:

-------

x1= 3.913

x2= 1.739

Значение целевой функции f = 265.219

Выводы

Выполнена цель лабораторной работы, а именно:

а) осуществлена постановка задачи линейного программирования и ее решение с помощью стандартной программы,

б) произведено исследование прямой и двойственной задачи, а также их изменения в i-ой компоненте векторов B и С соответственно,

в) подтверждены теоретические выкладки.

5