Результаты тестирования различных методов

Ниже приведены таблицы с результатами работы программы для двух функций, с различными стартовыми точками и точностями вычисления.

Точность:		0.0001		0.00001		0.000001
X0=(1,1)	К	X*	K	X*	K	X*
Метод Свенна	6	[(-0.26,-0.89); (0.7,0.55)]	6	[(-0.26,-0.89); (0.7,0.55)]	6	[(-0.26,-0.89); (0.7,0.55)]
Метод Золотого сечения 2	22	(0.255816; -0.116276)	33	(-0.255813; -0.11628)	31	(0.255814; -0.116279)
Метод Свенна 4	9	[(0.49,0.235); (-0.022,-0.533)]	9	[(0.49,0.235); (-0.022,-0.533)]	9	[(0.49,0.235); (-0.022,-0.533)]
Метод Дэвидона	1	(0.255814; -0.116279)	1	(0.255814; -0.116279)	1	(0.255814; -0.116279)

Выводы:

В данной работе был использован метод Свенна1 и Свенна4 получения начального интервала локализации минимума. Также сравниваются 2 метода линейный и аппроксимационный для функции двух переменных. Поиск ведется в пространстве, начиная с заданной начальной точки x₀ по направлению p. Сравнивая методы нужно отметить высокую эффективность метода Дэвидона кубической аппроксимации. Как видно из сравнительной таблицы данный метод находит точный минимум всего за 1 итерацию при разных точностях, в отличие от линейного метода золотого сечения. При изменении начальной точки алгоритм Дэвидона выполняет задачу за 1 итерацию, когда методу ЗС2 требуется задание точности и несколько десятков итераций для нахождения точного минимума. Поскольку при другой начальной точке минимум будет другим, то в таблице не приведено сравнение результатов при другой начальной точке. Также для проверки были умышленно искусственно расширены границы начального интервала, для проверки метода. Результат не изменился 1 итерация и точный результат. Это можно связать с тем, что аппроксимация производится по более точному полиному 3-го порядка. И вероятно построенный полином очень близок к исследуемой функции, поэтому при первом же вычислении аппроксимирующего минимума выдается точный результат.

Ответы на контрольные вопросы:

1. Поясните организацию линейного поиска на основе методов золотого сечения, Фибоначчи и Пауэлла. В методах ЗС и Фибоначчи ТИЛ делится в отношении золотых чисел и соседних чисел последовательности Фибоначчи пока соседние точки не будут удовлетворять КОП. В методе Пауэлла в середине интервала берется точка предполагаемого минимума, которая вычисляется исходя из свойств аппроксимирующего полинома, который строится по известным данным интервала и значений функции в конкретных точках. Эта точка как бы предполагаемый минимум. Относительно этой точки сокращается ТИЛ пока не будет удовлетворен КОП.

2. Найти производную в точке x⁰=(1,0)^t по направлению p¹=(1,1)^t для функции f(x) = x₁² - x₁x₂ + 2x₂² - 2x₁. Градиент G= (2x₁-x₂-2 , 4*x₂-x₁)^t G(x₀)= (0,-1)^t

F’(x₀,p) = G ^t *p = (2x₁-x₂-2 , 4*x₂-x₁)*(1,1) ^t = (0,-1)* (1,1)^t =0-1=-1

3. Как изменится процедура минимизации методами Больцано, дихотомии, ДСК, Дэвидона при переходе от поиска на числовой прямой к поиску на плоскости R²? F(x) -> F(x₁,x₂)

Числа a,b,λ,µ -> векторы a,b, λ,µ или смещения относительно начальной точки α _b α_a … КОП: |b-a|<ε -> ||a-b||<ε модуль заменится нормой

Y’(r) -> Y’(r,p) производная станет по направлению.

x_k+1=x_k+h_k, h_k=2h_k-1 -> x_k+1=x_k+h_k*p, h_k=2h_k-1 шаг на h станет шагом на h в направлении p.

4. Что является направлением наискорейшего спуска в точке x = (1,1)^t для целевой функции y(x) = x₁² + 2x₂² Им является вектор антиградиент в точке x = (1,1)^t G= (2*x₁,4*x₂)^t B точке х G= (2,4) ^t антиградиент -G= (-2,-4) ^t

5. Приведите 2 способа аналитического решения задачи для Вашего варианта задания. Простейший метод поиска минимума функции: Y’=0; Так как у нас поиск по направлению, то и производная по направлению Y’(x,p)=0. Y=x₁² + 3x₂² + 2x₁x₂ x0= (1,1)^t , p= (2,3)^t Градиент G(x)= (2x₁+2x₂,6x₂+2x₁)^t

Y’(x,p) = (2x₁+2x₂,6x₂+2x₁)*(2,3) ^t =4x₁+4x₂+18x₂+6x₁=10x₁+22x₂=0

10x₁+22x₂=0

Но x₁=1+2α, а x₂=1+3 α, т.к. x₁ и x₂ лежат на направлении p. Таким образом

10(1+2 α)+22(1+3 α)=0

10+20 α+22+66 α=0

32+86 α=0

α= -32/86

α=-0,372093023

x₁=1+2 α=0.255813954

x₂=1+3 α= -0.116279067

X=(0.255813954, -0.116279067);

6. Найдите минимум y(x) = x₁² - x₁x₂ + 2x₂² - 2x₁ + e^x1+x2, двигаясь из точки x  = (0,0) в направлении наискорейшего спуска. Градиент G(x)= (2x₁-x₂-2+e^x1+x2,4x₂-x₁+e^x1+x2)^t G(x₀)= (-1,1)^t антиградиент -G= (1,-1)^t

Y’(x,p) = (2x₁-x₂-2+e^x1+x2,4x₂-x₁+e^x1+x2)* (1,-1)^t = 3x₁ -5x₂-2=0

-3x₁+5x₂+2=0

x₁= α

x₂= - α

3 α+5 α-2=0

8 α-2=0

α= 0.25

x₁= 0.25

x₂= -0.25

X=(0.25, -0.25)^t

7. Найти шаг ₁, доставляющий минимум в точку x₂ = x₁ + ₁p для функции y(x)= x₁² + 2x₂² и направления антиградиента в точке x⁰ =(1,0)^t

Градиент G=(2x₁,4x₂)^t G(x₀) =(2,0)^t антиградиент –G = (-2,0)^t

Y’(x,p) = (2x₁,4x₂)*(-2,0)^t = -4x₁=0

-4x₁=0

x₁=1-2

-4(1-2)=0

=0.5