Лабораторная работа №21

Министерство образования РФ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет имени В.И. Ульянова (Ленина) "ЛЭТИ"

Лабораторная работа по дисциплине

«Методы оптимизации » №2

на тему: «Методы полиномиальной интерполяции для поиска минимума целевых функций».

Выполнил: Воронин А.В.

Погодина К.

Группа: 2373

Преподаватель:

Санкт-Петербург

2004 г

Целью работы является:

1) сравнение двух методов одномерной минимизации - прямого и интерполяционного;

2) разработка программы, реализующей прямой метод на этапе установления границ начального интервала и метод полиномиальной интерполяции для локализации искомого минимума.

Описание методов оптимизации.

Алгоритм Фибоначчи-2

Начальный этап

(1) Задать константу , начальный интервал [a₁, b₁], длину конечного интервала L_n и определить число n так, чтобы выполнялось условие F_n > (b₁ - a₁)/L_n.

(2) Выбрать одну пробную точку . Положить

k = 1.

Основной этап

Шаг 1. Проверить критерий окончания поиска: если k=n, то остановиться и положить x*=x₂.

Шаг 2. Сократить текущий интервал локализации рассмотрением 4-х ситуаций, аналогично методу золотого сечения-2.

Алгоритм ДСК

Данный метод относится к классу прямых методов, опирающихся на идею построения аппроксимирующего полинома второго порядка на основании информации о значениях функции в n+1 точке – узлах интерполяции.

Начальный этап

1. Выбрать произвольную точку x¹Rⁿ

2. Задаться величиной шага h=0.001

3. Определить погрешность

4. Положить счётчик числа итераций равным 1, а также b=x¹

Основной этап

Шаг 1. Вычислить f_i в 3-х точках: a, b и с – центральной (b) и двух соседних: a=b-h, c=b+h. Затем, по формуле

(1)

или

(2)

найти аппроксимирующий минимум d

Шаг 2. Проверить критерий близости 2-х точек b и d

и

Если оба условия выполняются – фиксируем аппроксимирующий минимум

и останавливаемся. Если оба критерия не выполняются, полагаем b=d и возвращаемся на шаг 1.

Текст программы:

#include<conio.h>

#include<math.h>

#include<iostream.h>

double f(double x)

{

return (2*x*x+3*exp(-x));

}

long fib(long n)

{

long i,f1=1,f2=1,f;

if((n==1)||(n==2)) return 1;

for(i=3;i<=n;i++)

{

f=f2;

f2=f1+f;

f1=f;

}

return f2;

}

long number(long fn)

{

long fd,f0=1,f1=1,k=2;

while(f1<fn)

{

fd=f1;

f1=f1+f0;

f0=fd;

k++;

}

return k;

}

void swann(double x0,double* a,double* b)

{

double h1,x1;

h1=0.0001*fabs(x0);

x1=x0+h1;

if(f(x0)<f(x1))

{

h1=-h1;

x1=x0+h1;

}

do

{

h1=2*h1;

x1=x1+h1;

}

while(f(x1-h1)>f(x1));

*a=x1-1.5*h1;

*b=x1;

}

double F1(double* a,double* b)

{

double Ln=0.000001,L1,e,x1,x2;

long n,Fn;

int k;

L1=fabs(*b-*a);

Fn=(int)(L1/Ln+0.5);

n=number(Fn);

e=L1/fib(n+1);

x1=*a+fib(n-2)/Fn*L1;

x2=*a+fib(n-1)/Fn*L1;

k=1;

while(k<5)

{

if (f(x1)<f(x2))

{

*b=x2;

x2=x1;

x1=*a+fib(n-k-2)/Fn*L1;

L1=fabs(*b-*a);

}

else

{

*a=x1;

x1=x2;

x2=*a+fib(n-k-1)/Fn*L1;

L1=fabs(*b-*a);

}

k++;

}

x2=x1+e;

if (f(x1)<f(x2)) return (*a+x2)/2;

else return (x1+*b)/2;

}

double DSK(double x0)

{

double e1,e2,h1,x1,x,a,b,c,d;

e1=0.0001;

e2=e1;

if(x0!=0) h1=0.01*fabs(x0);

else h1=0.01;

do

{

x1=x0+h1;

if(f(x0)<f(x1))

{

h1=-h1;

x1=x0+h1;

}

do

{

h1=2*h1;

x1=x1+h1;

}

while(f(x1-h1)>f(x1));

x=(x1+x1-h1)/2;

if(f(x)<f(x1-h1))

{

a=x1-h1;

b=x;

c=x1;

}

else

{

a=x1-1.5*h1;

b=x1-h1;

c=x;

}

d=b+1/2*((b-a)*(f(a)-f(c)))/(f(a)-2*f(b)+f(c));

if((fabs((d-b)/b)<=e1)&&(fabs((f(d)-f(b))/f(b))<=e2))

return (b+d)/2;

if(f(b)<f(d)) x0=b;

else x0=d;

h1=h1/2;

}

while(1);

}

void main()

{

double x0,a,b,n,min;

cout<<"Введите начальную точку";

cin>>x0;

swann(x0,&a,&b);

if(a>b)

{

n=a;

a=b;

b=n;

}

cout<<"Интервал, полученный методом Свенна: ["<<a<<";"<<b<<"]"<<'\n';

x0=F1(&a,&b);

min=DSK(x0);

cout<<"Искомая точка "<<min;

getch();