Метод Фибоначчи

Этот метод применяется, если известно точное количество испы­таний n, и при выборе значения x_k к-го испытания можно исполь­зовать информацию о значениях ƒ(x₁),..., ƒ(x_k-1)(k>=2). После каждого испытания интервал неопределенности сокращается. При этом используется следующий факт: если α<B и ƒ(α)>=ƒ(c), ƒ(B)>=ƒ(c), то на интервале [α,B] находится точка локально- ­го минимума непрерывной функции ƒ.

- 5 -

Здесь потребуются числа Фибоначчи, удовлетворяющие равенствам:

F₁=F₂=1,

F_n+2=F_n+F_n+1.

Нетрудно убедиться, что .

Определим α₁=0, B₁=1, x₁=F_n-1/F_n+1, x₂=F_n/F_n+1.

Если ƒ(x₁)≥ƒ(x₂), то положим α₂=x₁, B₂=B₁;

Если ƒ(x₁)<ƒ(x₂), то положим α₂=α₁, B₂=X₂.

Для n ≥ k ≥ 2:

Y_k+1 = α_k + F_n-k / F_n+1,

Z_k+1 = α_k + F_n-k+1 / F_n+1.

В одной из этих точек значение ƒ на K-м шаге уже вычислено. Другую точку обозначим x_k+1. Если ƒ(Y_k+1)≤ƒ(Z_k+1), то по- ­ложим α_k+1=α_k, B_k+1=Z_k+1; если ƒ(Y_k+1)>ƒ(Z_k+1), то положим α_k+1=Y_k+1, B_k+1=B_k. Точка локального минимума лежит в интервале [α_k, B_k] при всех k≥1, при этом B_k+1-α_k+1=F_n-k+2/F_n+1. Последняя точка x_n выбирается равной Y_n+ε или Z_n-ε, в за­- висимости от того, в какой из этих точек вычислено значение ƒ. Здесь 0<ε<1/F_n+1. Тогда длина заключительного интервала неопределенности равна 1/F_n+1+ε. Можно доказать, что для лю- ­бого алгоритма за n испытаний получить заключительный интервал неопределенности для любой (наихудшей для этого алгоритма) функции ƒ, меньший, чем 1/F_n+1, невозможно.

Метод золотого сечения

Нетрудно заметить, что в методе Фибоначчи

Отметим, что

при n → ∞

- 6 -

Поэтому при больших n

(1.2)

Выбирая значения x_k так же, как и в методе Фибоначчи, за исключением замены формулы (1.1) на (1.2), получаем почти такую же последовательность точек {x₁,...,x_n} с той разницей, что в (1.2) правая часть не зависит от n. Полученный метод называется мето­дом золотого сечения (эти сечения указаны в (1.2)) и применяется в том случае, если число n заранее неизвестно. Отметим, что

и при больших заданных n метод золотого сечения хуже метода Фибоначчи, в = 1.1708...раз.

Порядок проведения лабораторной работы

Работа выполняется в диалоговом режиме.

Номер варианта, сообщаемый в ответ на запрос, задает некото­-рую конкретную функцию, минимум которой необходимо найти, и коли­чество допустимых испытаний.

Аналитическое представление этой функции студенту неизвестно. Задача студента заключается в том, чтобы для каждого из описанных выше методов:

а) последовательно указать точки вычисления функции (для ме­тода пассивного поиска точки должны быть упорядочены в порядке возрастания);

б) указать длину , и границы заключительного интервала неопре-деленности.

В помощь студенту на экран выводится следующая информация:

- для метода пассивного поиска: при неверно введенном значе-нии x_k выводится сообщение об этом, после чего ввод должен быть повторен;

- для методов Фибоначчи и золотого сечения выводится график со значениями функций в уже выбранных точках; ниже графика выво-дятся сами точки в порядке указания; при неверном выборе очеред-ной точки выводится соответствующее сообщение, после чего ввод должен быть повторен.

- 7 -

Требования к отчету

Отчет должен содержать:

а) постановку решаемой задачи;

б) последовательность выбранных для испытаний точек и обосно­вание такого выбора;

в) длину и границы заключительного интервала неопределеннос­-ти;

г) ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. В чем отличия в постановке задач, решаемых методами пас­сивного поиска, золотого сечения и методом Фибоначчи?

2. Как оценить скорость изменения интервала неопределенности в методах одномерной минимизации?

3. Чему равен выигрыш от использования метода золотого сечения по сравнению с методом пассивного поиска при n = 10?

Лабораторная работа 2

МНОГОМЕРНАЯ МИНИМИЗАЦИЯ

Цель работы. Исследование алгоритмов безусловной минимизации гладких функций нескольких переменных.

Постановка задачи

Для заданной функции ƒ(x¹,...,xⁿ) найти ее точку минимума x_* с заданной точностью ε. Для поиска минимума воспользоваться различными методами минимизации, описываемыми ниже.

Краткие общие сведения. Градиентный метод с постоянным шагом

Общая схема метода следующая:

по заданному значению x₀ - вектору начального приближения -вычисляются последовательно значения x₁,x₂,... по формуле:

- 8 -

где - вектор частных произ- водных функции ƒ₁ по координатам х¹, ..., x², вычисленный в точке .

Метод наискорейшего спуска

Отличие этого метода от градиентного метода с постоянным ша-гом заключается в способе вычисления параметра α_k на k -м шаге алгоритма:

x_k+1 = x_k – α_k ∙ grad ƒ(x_k),

α_k = argmin { ƒ( x_k – α ∙ grad ƒ(x_k)) : α > 0 }

Т.е. на каждом шаге используется дополнительная процедура одномер­ной минимизации (поиска точки локального минимума функции одного аргумента).

Метод Ньютона-Рафсона

Этот метод используется для вычисления точки локального мини­мума функции и переменных, обладающей третьими производными по всем переменным. Последовательность { x₁, x₂, ...} приближений к стационарной точке строится по формуле:

где

- n x n - матрица Гессе

функции ƒ в точке x_k.

Порядок проведения лабораторной работы

Работа осуществляется в диалоговом режиме с помощью программы. Описанные выше методы исследуются на примере задачи минимизации квадратичной функции двух переменных ƒ(x) = ƒ( x¹, x²):

ƒ(x) = X^TAX + B^TX + C.

- 9 -

Параметры минимизируемой функции - 2х2 - матрица А, 2-вектор В и скаляр С - задаются студентом по указанию преподавателя.

В задачу студента входят:

а) определение начального вектора x₀ и величины шага α, при котором значения ƒ(x1), ƒ(x2), ..., определенные градиентным методом с постоянным шагом, убывают;

б) проведение минимизации заданной функции методами наискорей­шего спуска и Ньютона-Рафсона;

в) сравнение результатов, полученных различными методами. В помощь студенту по окончании работы программы в соответствии с одним из методов на экран выводится таблица точек х_k и значений ƒ(x_k).

Требования к отчету

Отчет должен содержать:

а) постановку решаемой задачи;

б) результаты проведенной минимизации;

в) выводы относительно факторов, влияющих на сходимость после­довательностей приближений к минимуму скорость такой сходимости;

г) ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. В каких случаях следует применять метод наискорейшего спус­ка, метод Ньютона, градиентный метод с постоянным шагом?

2. Какова скорость сходимости градиентных методов и метода Ньютона?

3. Для каких из рассматриваемых методов сходимость зависит от выбора начального приближения?

Лабораторная работа 3 СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД

Цель работы. Изучение симплексного метода решения задач ли­нейного программирования.

- 10 -

Постановка задачи

Рассматривается следующая задача, получившая название задачи линейного программирования.

Найти минимум линейной функции ƒ n аргументов:

ƒ = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n,

где С_i - постоянные коэффициенты, на множестве, заданном набором линейных ограничений:

α₁₁x₁ + α₁₂x₂ + ... + α_1nx_n ≥ B₁

...

α_m1x₁ + α_m2x₂ + ... + α_mnx_n ≥ B_m

x₁ ≥ 0, ..., x_n ≥ 0,

где α_ij, B_i - постоянные коэффициенты.

Пусть А = - m*n - матрица, а

- векторы,

тогда ограничения записываются следующим образом:

где неравенства понимаются покоординатно.

Целевая функция ƒ может быть представлена в виде скалярного

произведения ƒ = (C, X).

Множество называется допустимым Х-многогранником.

Оптимальной точкой задачи линейного программирования называет­ся такая точка X*, что и (C, X*) ≤ (C, X) для всех . Известно, что среди оптимальных точек содержится хотя бы одна крайняя точка X.