1) Задать x0 – произвольная начальная точка.

2) выбрать шаг h равным 0.01…0.001(если x⁰ = 0) или 0.01*|x⁰|(если x⁰ не = 0).

3) e1=e2 (0.01…0.001)

Основной этап:

Шаг 1:

Получить 3 равностоящих точки методом Свенна2:

1. Установить направление убывания целевой функции. Для этого надо

взять x₂=x₁+h. Если f1<f2, то надо поменять направление движения

(h=- h и взять x₂=x₁+h).

2. x_k+1=x_k+2* h_k-1 пока не будет x_m-1: f_m-1< f_{m .}

3. x_m+1=(x_m+x_m-1)/2.

4. Из f(x_m+1)и f(x_m-1) взять минимальную

5. Переименовать а= x_m-2 b= x_m-1 с= x_m+1 или а= x_m-1 b= x_m+1 с= x_m

Шаг 2:

Найти d=b+1/2*((b-a)*(f(a)-f(c))/(f(a)-2*f(b)+f(c)));

Шаг 3:

КОП: Если l(d-b)/bl<=e1 и l(f(d)-f(b))/f(b)l<=e2 выполняются, то x*=(b-d)/2

Иначе: x⁰ = min(f(b),f(d)) и h1=h/2 goto Шаг1.

Спецификация программы.

В программе реализован метод прямого поиска начального интервала локализации. Далее в программе производится сравнение двух методов простого линейного поиска и интерполяционного метода. Сравниваются методы Фибоначчи 1 и метод Дэвиса-Свенна-Кемпи..

Текст программы:

#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

//+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

int k,k1;

//+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

double f (double x)

{

return (2*pow(x,2)-pow(2.718281828,x));

}

//+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

long Fib (long x)

{

long s, tmp;

if(x>=1)

{

s=1;

tmp=0;

for(long k=0; k<x; k++)

{

s=s+tmp;

tmp = s-tmp;

}

return s;

}

else

return 1;

}

//+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

void Svenn(double *a, double *b, double x, double h)

{

k=1;

if(f(x)<f(x+h))

h=-h;

while(f(x)<f(x-h))

{

h=2*h;

x=x+h;

k++;

}

*b=x-h-h/2;

*a=x;

}

//+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

double F1(double a, double b, double e)

{

k=1;

double Ln=0.01*e,l,m;

long n=0;

while(Fib(n)<(b-a)/Ln)

n++;

l=a+(Fib(n-2)*(b-a))/(Fib(n));

m=a+(Fib(n-1)*(b-a))/(Fib(n));

while(k<n-1)

{

if(f(l)<f(m))

{

b=m;

m=l;

l=a+(Fib(n-k-2)*(b-a))/Fib(n-k);

}

else

{

a=l;

l=m;

m=a+(Fib(n-k-1)*(b-a))/Fib(n-k);

}

k++;

}

if(f(l)<=f(m))

return (a+m)/2;

else

return (l+b)/2;

}

//++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

double DSK(double *a,double *b, double *c,double x0, double h)

{

k=1;

k1=1;

double x1,d,x,e=0.01;

do

{

x1=x0+h;

if(f(x0)<f(x1))

{

h=-h;

x1=x0+h;

}

do

{

h=2*h;

x1=x1+h;

k++;

}

while(f(x1-h)>f(x1));

x=(x1+(x1-h))/2;

if(f(x)<f(x1-h))

{

*a=x1-h;

*b=x;

*c=x1;

}

else

{

*a=x1-1.5*h;

*b=x1-h;

*c=x;

}

if(*a>*c)

{

x=*a;

*a=*c;

*c=x;

}

d=(*b)+1/2*(((*b)-(*a))*(f(*a)-f(*c)))/(f(*a)-2*f(*b)+f(*c));

if(fabs((d-(*b))/(*b))<=e && fabs((f(d)-f(*b))/f(*b))<=e)

return ((*b)+d)/2;

else

{

if(f(*b)<f(d))

x0=(*b);

else

x0=d;

}

h=h/2;

k1++;

}

while(1);

}

//++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

void main()

{

clrscr();

double h=0.01,a,b,c,x0=1,e=0.001;

cout<<"e="<<e<<" x0="<<x0<<endl;

cout<<endl;

cout<<"--- Svenn ---"<<endl;

Svenn(&a,&b,x0,h);

cout<<"a="<<a;

cout<<" b="<<b;

cout<<" k="<<k<<endl;

cout<<endl;

cout<<"--- Fibonachchi-1 ---"<<endl;

double x=x0;

x=F1(a,b,e);

cout<<"x="<<x;//<<endl;

cout<<" k="<<k<<endl;

cout<<endl;

cout<<"--- Svenn2 ---"<<endl;

DSK(&a,&b,&c,x0,h);

cout<<"a=" <<a;

cout<<" b="<<b;

cout<<" c="<<c;

cout<<" k="<<k<<endl;

cout<<endl;

cout<<"--- DSK ---"<<endl;

cout<<"x="<<x;

cout<<" k="<<k1;

getch();

}

Результаты тестирования различных методов:

Ниже приведены таблицы с результатами работы программы для двух методов, с различными стартовыми точками и точностями вычисления.

Точность:		0.01		0.001	0.0001
X0=1	К	X*	K	X*	X*
Метод Свенна	10	[-0.022 ; 0.746]	10	[-0.022 ; 0.746]	[-0.022 ; 0.746]
Метод Фибоначчи	19	0.357334	24	0.357401	0.357403
Метод Свенна2	10	-0.023 0.233 0.489	10	-0.023 0.233 0.489	-0.023 0.233 0.489
Метод ДСК	1	0.357334	1	0.357401	0.357403

Выводы

В данной работе были использованы методы: Свенна - получения начального интервала локализации минимума (для метода Фибоначчи 1), Свенна2 – получения трех равностоящих точек (для метода ДСК), Фибоначчи1 - линейного поиска минимума унимодальной функции f(x) на замкнутом интервале [a, b], ДСК - интерполяционный метод нахождения минимума функции в 3 этапа: 1) Свенн2; 2) d; 3) возврат с h1=h/2 . Сравнивая методы стоит отметить, что при выборе начальной точки близкой к истинному значению минимума интерполяционный метод работает практически в три раза быстрее прямого метода при заданной точности. Однако, если взять начальную точку далеко от истинного минимума, то метод ДСК намного уступает прямому методу. Отсюда следует сделать вывод о том, что в начале поиска стоит использовать линейные методы поиска начального интервала, если интервал невелик и можно с некоторой точностью установить значение начальной точки поиска, то следует использовать интерполяционный метод, если же интервал велик и выбрать близкое значение начальной точки сложно, то стоит использовать линейный метод поиска минимума.

Ответы на контрольные вопросы:

1. Когда целесообразно использовать методы полиномиальной интерполяции?

Методы полиномиальной интерполяции нужно использовать в случае, если начальная точка поиска близка к истинному минимуму.

2. Сравните организацию поиска в методах ДСК и Пауэлла.

В методе Пауэлла после вычисления апрксимационного минимума и выбора лучшей точки из b или d, мы берем 2 соседние слева и справа точки и называем левую a, правую – c. В методе ДСК после выбора лучшей точки мы сторим 2 новые симметричные относительно центральной точки a и c.

3. Как строится система из 4-х уравнений в методе кубической интерполяции?

Уравнение аппроксимации целевой функции y(x)=Ax³+Bx²+Cx+D имеет 4 неизвестных. На отрезке [a,b] накладываем ограничения:

F(a)=y(a) -> находим D

F(b)=y(b) = Ab³+Bb²+Cb+D

F’(a) = y’(a) находим С

F’(b) = y’(b) = 3Ab²+2Bb+c

4. Достоинства и недостатки методов интерполяции в задачах оптимизации.

Данные методы решают задачу локализации минимума за очень малое число итераций при условии близости начальной точки поиска к истинному минимуму. Если это условие не выполняется, то интерполяционный метод работает намного медленнее и менее эффективно прямых методов поиска минимума.

5. Почему при минимизации целевых функций используют комбинированные стратегии поиска? Это делается для того чтобы убрать недостатки интерполяционных методов на начальных этапах, когда минимум можно определить с большой погрешностью и эти методы неэффективны. И сделать поиск минимума более эффективным на последующих этапах.

6. Выполните одну итерацию метода ДСК при поиске минимума f(x) = x² - x, x  = 3.

Предположим, что сработал метод Свенна2 и за 12 итераций мы узнали 3 точки a= -0.039 b=0.473 c=0.986 . Ищем апроксимационный минимум d = 0.3585 Далее мы берем лучшую точку из b и d. В данном случае это b. И строим 2 симметричные относительно нее точки a=b-h и c=b+h Уменьшаем h=h/2. Проверяем КОП и возвращаемся на шаг 1.