4. Побудова цільової функції для оптимізації системи

З теореми «Про мінімізацію функції вартості» випливає, що розв'язок існує і до того ж є єдиний, коли ми маємо систему (4.1) трансцендентних рівнянь у вигляді:

, де і=2, 3, …, n

та

Позначимо:

Оскільки вихідна система розпаралелена, тобто кожне рівняння залежить від одного невідомого параметра, а всю систему об'єднує лише один параметр р то його можна розглядати як основний варіюючий параметр системи.

Методика розв'язання системи зводиться до наступного розширеного алгоритму(в аспекті методу послідовних наближень):

1. Вибираємо довільно перше значення параметра системи з області

0<p_i <1,

, де , n - кількість елементів в системі, Р_р -

надійність модифікованої системи (тобто надійність шуканої системи повинна бути більша на 50% від ризику, 50% в даному випадку вибрано у зв'язку з тим що система потребує високої надійності)

2. Розглянемо і-те рівняння, і=2, 3, … ,n

Нам відомо, що розв'язок його існує. Шукаємо істинне значення розв'язку цього рівняння послідовними наближеннями, починаючи з вибору .

2.1. Вибираємо нульове наближення і-го елемента в і-му рівнянні системи.

2.2. Підставляємо вибране в і-те рівняння і обчислюємо і-те рівняння (4.1) і функції та .

2.3. Порівнюємо значення та в нульовому наближенні. При цьому можливі такі наслідки:

а) < ;

б) > ;

в) = з точністю

У випадку в) процес наближення зупиняється і число приймається за перше наближення надійності і-го елемента:

.

У випадках а) і б) процес послідовних наближень продовжують. У випадку а) р_і> > . Наступним кроком має бути: і т.д. У випадку б) .

2.4. Повторюємо процедуру кроку 2.3. з уточненим значенням . І знаходимо - уточнене.

При цьому можливі такі випадки:

• наслідок а) або б) повторюють 2.3. наступний крок повторюють таким же чином.

• наслідок цього кроку від а) переходить в б) і навпаки.

2.5. вибираємо всередині між значенням третього і четвертого кроку або ж за лінійною інтерполяцією у вигляді , де - певним чином унормовані коефіцієнти.

Такий процес являється збіжним, про що говорять наступні міркування: такі

кроки обґрунтовані тим, що функція являється монотонно зростаючою, а функція - монотонно спадною.

2.6. Процес послідовних наближень продовжуємо доти, поки:

2.7. Вибираємо перше наближення - значення надійності і-го елемента.

2.8. Обчислюємо перші наближення всіх елементів , ,…,

3. Підставляємо результати наближень у друге рівняння системи (4.1). Маємо:

4. Порівнюємо перше наближення, що все одно як k-те наближення, надійності системи із вимогами р* . При цьому можливі такі випадки:

а)

б)

в)

У випадку а) розв’язок задачі знайдено.

У випадках б) та в) послідовний процес продовжується в наступному напрямку:

• для б) - вибираємо (k+1)-е наближення

• для в)

Процес продовжується доти, поки на певному кроці не досягнемо рівності у формі а).

Всі розрахунки приведено в таблиці 7.

Таблиця 7

	p1	i	i	різниця
1	0,8885
2	0,8875	1,4187	0,9593	0,4594
3	0,8874	1,4141	0,9737	0,4404
4	0,8774	1,4157	0,9449	0,4707
5	0,8674	1,3759	1,0603	0,3156
6	0,8574	1,3431	1,1749	0,1682
		0,8948	0,9555	0,0607
1	0,8474
2	0,8374	1,0285	1,3977	-0,3692
3	0,8384	1,2920	1,5363	-0,2443
4	0,8394	1,2708	1,5259	-0,2551
5	0,8404	1,2727	1,5153	-0,2427
6	0,8414	1,2746	1,5047	-0,2302
		2,7391	1,8444
1	0,7414
2	0,7514	1,0339	2,3667	-1,3328
3	0,7614	1,1623	2,3023	-1,1401
4	0,7714	1,1693	2,2338	-1,0644
5	0,7814	1,1770	2,1609	-0,9838
6	0,7914	1,1854	2,0834	-0,8980
		1,9606	1,0659

Таблиця 8

p(41)	C(p)
0,7414	210,1991
0,7514	376,4891
0,7614	356,9408
0,7714	433,7471
0,7814	443,6955
0,7914	1801,072

Тобто загальна вартість шуканої системи з надійністю Р=0,7914 : С=1801 грн.