Методы решения систем нелинейных уравнений
Установившиеся режимы электрических систем описываются с большой степенью точности нелинейными уравнениями. Системы нелинейных уравнений (СНУ) решаются только итерационными методами. При изменении напряжений узлов в небольших диапазонах система уравнений установившегося режима носит название слабо нелинейной и для нахождения её корней могут быть применены метод Зейделя и метод простой итерации. В случае, когда нелинейность уравнений высока, применяется более эффективный метод Ньютона, который получил наибольшее применение в электроэнергетике. Необходимо хорошо понять сущность этого метода, основанного на последовательном решении линеаризованных систем уравнений. Предлагается рассмотреть геометрическую интерпретацию метода Ньютона на примере решения одного нелинейного уравнения, изучить алгоритм решения СНУ этим методом.
-7-
Контрольные вопросы
1. Понятие о нелинейных уравнениях, описывающих режимы электрических систем.
2. Методы простой итерации и Зейделя для решения нелинейных уравнений.
3. Сущность линеаризации нелинейных уравнений.
4. Метод Ньютона как метод касательных для решения нелинейного уравнения.
5. Алгоритм метода Ньютона для решения СНУ.
2. Математическое программирование в электроэнергетике
2.1. Введение в теорию оптимизации
Производство и распределение электрической энергии связано с большими затратами материальных средств и топлива. Необходимо их экономить за счет выбора оптимальных мест размещения электрических станций, конфигурации электрических сетей, режимов работы оборудования и т.д. Поэтому постановка и решение оптимизационных задач в деятельности инженера-электрика занимает значительное место. Важно получить хорошее представление о математическом моделировании. Полезно обстоятельно познакомиться с постановкой общей задачи программирования, как оптимизационной задачи с ограничениями.
На примере общей задачи программирования необходимо усвоить основную терминологию, а также понятия о целевой функции и критерии оптимальности, балансовых и граничных ограничениях; классификацию оптимизационных задач и методы их решения. Понимания методов классической оптимизации можно добиться при внимательном изучении постановки ряда задач на оптимизацию распределения электрических нагрузок в электрической системе и решения их методом Лагранжа.
Контрольные вопросы.
Что такое математическое программирование?
Что такое математическое моделирование?
Что такое целевая функция и какие критерии оптимальности используются в энергетике?
Что такое экстремум или оптимум функции? Понятие глобального или абсолютного и условного или относительного оптимума.
Напишите в общем виде функцию Лагранжа.
-8-
В условии задачи указывается литература, которую рекомендуется использовать для изучения методов их решения.
Задача 1. Вычислить определитель квадратной матрицы третьего порядка (табл.1) двумя способами: классическим и разложением по элементам строки или столбца 2.
Задача 2. Обратить классическим способом квадратную матрицу третьего порядка (табл.1) 2.
Задача 3. Для графа сети (табл.2) составить матрицы, входящие в уравнения законов Ома и Кирхгофа 1,3.
Задача 4. Для графа сети (табл.2) составить матрицы, входящие в выражения:
(1)
(2)
для определения токов в ветвях методом узловых напряжений 1,3.
Задача 5. Рассчитать потоки активной мощности в электрической сети (рис.1) методом узловых напряжений.
Указание. Расчеты выполнять приближенно, используя идею “расщепления схемы” 3, согласно которой потоки активной мощности можно распределять по реактивным сопротивлениям. Для этого в формулах (1) – (2) заменить комплексные сопротивления и проводимости на реактивные сопротивления и проводимости, комплексные токи – на активные мощности. Исходные данные задаются в табл.3.
Рис. 1 X – схема электрической сети к задаче 5
Задача 6. Решить СЛУ третьего порядка (табл.4) методом обратной матрицы [2].
Задача 7. Решить СЛУ третьего порядка (табл.4) методом Гаусса. Вычисления выполнять в матричной форме [2].
-13-
При сглаживании экспериментальных зависимостей самых распространенным является метод наименьших квадратов, который следует изучить.
Особое внимание необходимо уделить методу статических испытаний (методу Монте-Карло).
Контрольные вопросы.
Какие основные задачи решает математическая статистика?
Что такое статистическая функция распределения и гистограмма?
Что такое критерий согласия и для чего он используется?
Дайте определение доверительной вероятности и доверительного интервала.
В чем сущность теорем Муавра-Лапласа и Бернулли?
Приведите выражения для определения статистических числовых характеристик случайных величин.
В чем сущность метода статистических испытаний (Монте-Карло) и какова область его применения?
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
Контрольное задание служит для изучения и закрепления учебного материала по данному курсу.
Контрольное задание выполняется в тетради, на обложке которой указываются фамилия и инициалы студента, полный шифр и номер варианта.
Работа должна быть написана четко, без помарок и сокращений, с соблюдением полей. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. При необходимости следует делать ссылки на источники, приведенные в списке использованной литературы. Буквенные обозначения в формулах, графические изображения в схемах должны соответствовать действующим ГОСТам.
После получения работы (как зачетной, так и не зачетной) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом недостатки. В случае незачета студент обязан выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложить при этом первоначально выполненную работу. Зачтенную работу студент обязан представить на экзамене.
Вариант задания определяется по двум последним цифрам номера зачетной книжки при числах от 01 до 20, при числах от 20 до 40 следует вычесть 20, при числах от 41 до 60 – число 40, при числах от 61 до 80 – число 60 и при числах от 81 до 100 – число 80. Например, следует выбрать 16 вариант.
Сущность прямых классических методов решения задач на относительный и абсолютный оптимум многих переменных.
Объясните физический смысл неопределенных множителей Лагранжа в задаче оптимального распределения мощностей в энергосистеме.
-12-