Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение искомой переменной определяется отношением двух полиномов

где

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

где - к-й корень уравнения

Для определения коэффициентов умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):

При

Рассматривая полученную неопределенность типа по правилу Лапиталя, запишем

Таким образом,

Поскольку отношение есть постоянный коэффициент, то учитывая, что окончательно получаем

Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду

В заключение раздела отметим, что для нахождения начального и конечного значений оригинала можно использовать предельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.

4. Расчетная часть

4.1 Расчет переходного процесса классическим методом

Определяем начальные независимые условия для момента времени t =0

Рисунок 1

i_L(0_-)=E/(R₂+R₃)= 2A

U_c(0_-)= 2*50 = 100 B

Записываем законы коммутации для момента времени t=(0₊)

U_c(0_-)= U_c(0₊)

i_L(0_-)= i_L(0₊)

Установившийся режим (Рисунок 2) :

Рисунок 2

В схеме постоянная ЭДС поэтому с течением времени в схеме установятся постоянный ток и напряжения

Из–за того что в схеме конденсатор, на зарядку разрядку которого требуется время

А также катушка индуктивности , на которой при изменении тока наводится ЭДС индукции

на установление этого процесса нужен особый переходный период именно его мы и рассчитываем.

Составляем дифференциальное уравнения. В нашем случае только одно, т. к. одна пара L и C . Оно получится 2 степени линейное не однородное. Для его решения приходится составлять характеристическое уравнение. Оказывается само уравнение можно не составлять а его характеристическим является также комплексное входное сопротивление схемы Z_вх=f(jw); комплексный аргумент обычно записывается одной буквой Р ищем Z_вх(р) (после коммутации)

z₁=z_R2,L,R3=R₂+R₃+рL=50+10^-3р;

z₂=z_R2,R3,L,C

Корни характеристического уравнения показывают, какое решение у того не составленного ДУ

Z_вх(p)=0 отсюда

Это значит что, свободная составляющая напряжения на конденсаторе:

;

B

A₁=-4.8 B

Но нам нужно найти

Для построения графика определим постоянные времени:

,

.

Таким образом и график U_L = f(t) необходимо построить на интервале времени т. е. (рисунок. 4).

Рисунок 4