Наращение по сложной процентной ставке
Если ссуда выдана на некоторый срок и проценты начисляются один раз в конце этого срока, то простые и сложные проценты не различаются, наращенная ссуда будет одной и той же. Эффект сложных процентов возникает тогда, когда срок ссуды разбит на несколько интервалов, в конце каждого интервала начисляются проценты и присоединяются к сумме, накопленной на начало интервала.
Простые проценты начисляются на начальную величину ссуды, сложные – на ссуду с наращением на момент начисления процентов.
Мы ввели обозначение сложной
процентной савки как
.
Наращение за 1 и 2 года рассчитывается:
Наращение за
лет по сложной процентной ставке
осуществляется по формуле:
Часто срок для начисления процентов не является целым числом, в связи с этим при начислении процентов на практике можно воспользоваться двумя методами расчета наращенной суммы: общим методом, описанным в разделе «Наращение по простой процентной ставке», и смешенным методом, применяемым только в случае использования в наращении сложной процентной ставки. Смешанный метод предполагает начисление процентов за целое число периодов (лет) по формуле сложных процентов и по формуле простых процентов за дробную часть периода:
,
Где
a
+ b
= n,
a
– целое число периодов;
– дробная часть периода.
Используя коэффициенты
наращения по простым и сложным процентным
ставкам, можно определить время,
необходимое для увеличения первоначальной
суммы в
раз. Чтобы первоначальная сумма
увеличилась в
раз,
необходимо, чтобы коэффициенты наращения
были равны величине
,
т.е.
- для простых процентов
,
откуда
;
- для сложных процентов
,
откуда
.
Пример 1.
Какой величины достигнет долг, равный 10 млн. руб., через 5 лет при росте по ставке сложного процента 15% годовых.
Решение.
Пример 2.
В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.
Решение
Общий метод:
Смешанный метод:
Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят
,
а по смешанному методу
.
Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.
Дисконтирование и учет по простым и сложным ставкам
Дисконтирование и учет по простым ставкам
Термин дисконтирование употребляется как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени. Дисконтирование (учет) позволяет рассчитывать современную (текущую) стоимость будущей суммы денег.
Если наращение – это определение
будущей суммы денег
по известному значению настоящей суммы
денег
,
то дисконтирование – это определение
настоящей стоимости денег
по значению будущей суммы денег
.
В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме , которую следует уплатить через некоторое время , необходимо определить сумму полученной ссуды . Такая ситуация может возникнуть, например при разработке условий контракта.
Расчет современной суммы денег необходим
и тогда, когда проценты с суммы
удерживаются вперед, т.е. непосредственно
при выдаче ссуды. В этом случае говорят,
что сумма
дисконтируется или учитывается,
сам процесс начисления процентов и их
удержание называется учетом, а
удержанные проценты - дисконтом. В
зависимости от вида процентной ставки
применяют два метода дисконтирования
- математическое дисконтирование
и банковский (коммерческий) учет.
В первом случае используется ставка
наращения
,
во втором - учетная ставка
.
Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды.
,
,
где
- дисконт.
В банковском деле процедура дисконтирования (учета) появилась из операции учета векселей. Вексель – обязательство вернуть указанную в векселе сумму (номинал векселя, обозначим его S), в указанный срок. Если держатель векселя (его собственник в данный момент) желает обменять вексель на деньги, он обращается в банк с предложением учесть имеющийся у него вексель, т.е. купить его за сумму меньшую, чем номинал . Такая сделка называется дисконтированием, а сумма скидки с номинала – дисконтом. Дисконт рассчитывается через процент, взимаемый банками с суммы векселя при учете векселя, этот процент называется учетной ставкой или учетным процентом. Схема расчетов по дисконтированию показана на рисунке 4 для случая, когда до срока оплаты векселя векселедателем (т.е. тем, кто его выдал) остался год.
Рисунок 4
Обозначим:
– номинал векселя;
– срок действия векселя;
– простая учетная ставка;
– дисконт, т.е. скидка с номинала при учете векселя;
– цена векселя, т.е. сумма денег, которую получит продавец векселя при его учете.
или
Легко заметить, что схема
дисконтирования очень похожа на схему
наращения (рис.3). Величины
и
и
совпадают.
Разница заключается в том, что в схеме
наращения в основу расчетов положена
выдаваемая ссуда
,
а вычисляется возвращаемая ссуда с
процентами
,
при дисконтировании же в основу положен
номинал векселя S
(т.е. возвращаемая сумма), а рассчитывается
сумма денег
,
которую получит продавец векселя.
Еще одно отличие процедур учета и наращения. При наращении ставка считается на величину ссуды , а при дисконтировании учетная ставка считается на номинал векселя .
Сопоставим:
Очевидно, что при одинаковых
величинах
и
учетная
ставка будет меньше ставки наращения.
Запишем формулу расчета
при
известных
и
при годичном сроке
векселя:
d).
Пусть срок действия векселя n лет, где n – неотрицательное число, в том числе дробное. Тогда формула для дисконтирования векселя n-летнего срока про простой учетной ставке примет вид:
Видно, что
и
могут быть такими, что может оказаться
>
1 и
станет
меньше нуля. Это, конечно же, невозможно:
никто не согласится отдать вексель, да
еще уплатить за это сумму, равную
).
Поэтому дисконтирование применяют так,
чтобы было 1 >
>
0.
Для процентной ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной - дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная - в наращении.
Ставка |
Прямая задача |
Обратная задача |
|
|
|
|
|
|
Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Например, при = 20 % уже 5-ти летний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.
Пример1.
Какую цену заплатит инвестор за бескупонную облигацию, номинальная стоимость которой 500 тыс. руб., а срок погашения — 270 дней, если требуемая норма доходности — 20 %?
Решение.
По формуле:
- при использовании обыкновенных процентов:
- точных процентов:
Пример 2.
Простой вексель на сумму 100 тыс. руб. с оплатой через 90 дней учитывается в банке немедленно после получения. Необходимо определить сумму, полученную владельцем векселя при учетной ставке 15 %.
Решение.
Пример 3.
На какую сумму должен быть выписан вексель, чтобы поставщик, проведя операцию учета, получил стоимость товаров (100 тыс. руб.) в полном объеме, если учетная ставка — 15 %?
Решение.
Определяем будущую стоимость (номинал) векселя по формуле:
