2. Диференціальні рівняння другого порядку

[1], глава ХІІІ, § 16

2.1. Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають пониження порядку

[1], глава ХІІІ, §§ 17-18

Диференціальні рівняння другого порядку, що не містять явно у собі змінні або , за допомогою належної заміни змінної допускають зниження порядку та інтегруються до кінця.

Якщо диференціальне рівняння другого порядку явно не містить , то застосовується підстановка , , якщо вона явно не містить , то

; .

Приклад 7. Знайти розв’язок задачі Коші

; ;

Розв’язання. Оскільки диференціальне рівняння явно не містить y, то застосуємо підстановку ; тоді одержимо

або .

Це лінійне рівняння першого порядку, загальний розв’язок якого знайдемо, наприклад, за методом І. Бернуллі.

Загальний розв’язок відшукаємо у вигляді

тоді або ;

;

; ; ;

; ,

Знайдемо сталу С₁ із початкової умови . Оскільки то

; ; .

Тоді , але .

І знову одержимо диференціальне рівняння першого порядку

; ;

;

знайдемо із початкової умови .

; ; – розв’язок задачі Коші.

Приклад 8. Знайти розв’язок задачі Коші

; ;

Розв’язання. Оскільки рівняння явно не містить , то застосуємо заміну

; тоді

; P = 0; y' = 0; y = C.

З урахуванням початкової умови y = 0. – це диференціальне рівняння з відокремлюючими змінними.

; ;

;

Знайдемо С₁ із початкових умов та

Оскільки , то ; ; .

Замінимо на , знову одержимо диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюючими змінними

; ;

Знайдемо із початкової умови , звідки .

Тоді – частинний інтеграл задачі Коші.

2.2. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

[1], глава ХІІІ, §§ 20-24

Лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами має вигляд

, (2.1)

де – сталі числа, а – відома функція.

Якщо , то диференціальне рівняння

(2.2)

зветься лінійним однорідним, а рівняння (2.1) – лінійним неоднорідним.

Загальний розв'язок однорідного рівняння (2.2) подається у вигляді

(2.3)

де та – фундаментальна система (лінійно незалежні частинні розв'язки рівняння (2.2));

та – довільні сталі.

Частинні розв’язки залежать від коренів характеристичного рівняння

.

Якщо :

1. характеристичне рівняння має дійсні і різні корені

; ; ,

то загальний розв’язок

;

2. характеристичне рівняння має дійсні і рівні корені

; ; ,

то загальний розв’язок

;

3. характеристичне рівняння має комплексно-спряжені корені

; ;

тоді ; , а загальний розв’язок

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (2.1) складається із суми двох розв’язків ,

де – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння (2.2)

– будь-який частинний розв’язок неоднорідного рівняння (2.1)

Якщо права частина рівняння (2.1) має вигляд

,

де – многочлен степені n, а m – стале число, тоді:

1. якщо число m не співпадає з коренями характеристичного рівняння тоді

;

де Q_n(x) – многочлен того ж степеня, що і , тільки з невизначеними коефіцієнтами;

2. якщо число m співпадає з одним із коренів характеристичного рівняння, тоді

;

3. якщо число співпадає з коренями характеристичного рівняння , тоді

;

коефіцієнти многочлена знаходяться за методом невизначених коефіцієнтів.

Якщо права частина рівняння (2.1) має вигляд

; ;

де та – многочлени, тоді :

1) якщо число не співпадає з коренем характеристичного рівняння, тоді

де та – многочлени степеня n з невизначеними коефіцієнтами;

2) якщо число співпадає з коренем характеристичного рівняння, тоді

.

Коефіцієнти многочленів та також знаходяться за методом невизначених коефіцієнтів (додаток 2).

Приклад 9. Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язання. За теоремою про структуру загального розв’язку неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами маємо

,

де – загальний розв’язок однорідного рівняння;

– частинний розв’язок усього рівняння.

Знайдемо спочатку загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння

Складемо характеристичне рівняння , та знайдемо його корені , . Тоді загальний розв’язок однорідного рівняння буде

Знайдемо тепер частинний розв’язок неоднорідного рівняння. Оскільки число і не співпадає з коренями характеристичного рівняння, тоді

	2
+	–3
	1

Скоротивши на і приводячи подібні отримаємо

(Обчисливши та і підставивши їх значення в неоднорідне рівняння знайдемо коефіцієнти методом невизначених коефіцієнтів). Прирівнявши коефіцієнти зліва та справа при однакових степенях x, матимемо систему

Тоді , а загальний розв’язок

Приклад 10. Знайти загальний розв’язок рівняння

.

Розв’язання. Загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння дорівнює

.

Знайдемо спочатку загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння

.

Складемо характеристичне рівняння

, , тоді

Знайдемо тепер частинний розв’язок неоднорідного рівняння. Оскільки число і співпадає з коренем характеристичного рівняння, тоді

	4
+	0
	1

Коефіцієнти і знайдемо методом невизначених коефіцієнтів. Прирівнявши зліва і справа коефіцієнти при функціях та матимемо

	;
	;

Тоді , а загальний розв’язок

.