1. Диференціальні рівняння першого порядку

[1], глава ХІІІ, §§ 1-3

1.1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними

Диференціальне рівняння зветься з відокрем-люючими змінними, якщо функції та можна подати у вигляді добутку функцій залежних тільки від x і тільки від y, тобто

Приклад 1. Знайти загальний інтеграл .

Розв’язання. Відокремимо змінні, поділивши обидві частини рівняння на

, тоді

Інтегруючи почленно, одержимо загальний інтеграл

(довільну сталу зручно подати у вигляді , щоб можна було у подальшому спрощені пропотенціювати).

Потенціюючи, одержимо загальний інтеграл

Приклад 2. Знайти загальний інтеграл

Розв’язання. Запишемо похідну у вигляді , зведемо до спільного знаменника та розкладемо коефіцієнт біля dy на множники

;

Відокремимо змінні .

Інтегруючи, одержимо загальний інтеграл.

; .

1.2. Однорідні диференціальні рівняння

[1], глава ХІІІ, § 5

Диференціальне рівняння зветься однорідним, якщо функції та є однорідними функціями одного й того ж виміру. Якщо диференціальне рівняння подано у вигляді , то воно зветься однорідним, при цьому – однорідна функція нульового виміру. Однорідні диференціальні рівняння за допомогою заміни змінної зводяться до диференціальних рівнянь з відокремлюючими змінними.

Приклад 3. Знайти загальний інтеграл .

Розв’язання. Застосуємо заміну ;

;

Відокремимо змінні .

Інтегруючи, одержимо

; .

Застосуємо зворотну заміну

. Пропотенціюємо

, – загальний інтеграл.

Приклад 4. Знайти загальний інтеграл

Розв’язання. Застосовуємо заміну ,

,

Відокремимо змінні . Інтегруючи це рівняння, дістанемо

; .

Застосуємо зворотну заміну ;

– загальний інтеграл.

1.3. Лінійні диференціальні рівняння та рівняння я. Бернуллі

[1], глава ХІІІ, §§ 7-8

Диференціальне рівняння зветься лінійним, якщо воно лінійне відносно функції та її похідної , і не містить добутку .

В загальному вигляді лінійні рівняння мають вигляд

,

де P(x), Q(x) – відомі неперервні функції на деякому інтервалі [a,b].

Лінійні рівняння інтегруються за методом І.Бернуллі або за методом варіації довільної сталої.

Приклад 5. Знайти розв’язок задачі Коші ; .

Розв’язання. Знайдемо спочатку загальний розв’язок за методом І.Бернуллі. Будемо шукати розв’язок у вигляді добутку двох функцій змінної ;

, тоді .

Підставляємо ці значення та у рівняння

(1.1)

Згрупуємо члени рівняння (1.1), наприклад, відносно V.

. (1.2)

Так як одну із функцій або можна взяти довільною, то візьмемо U так, щоб вона була будь-яким частинним розв’язком рівняння

(1.3)

Відокремлюючи змінні та інтегруючи, одержимо

; ; ;

(1.4)

Підставляючи в рівняння (1.2) знайдене значення та враховуючи, що є розв’язок рівняння (1.3), одержимо знову диференціальне рівняння з відокремлюючими змінними для визначення V .

; ;

(1.5)

Маємо та , отже одержимо загальний розв’язок враховуючи (1.4) і (1.5)

З початкової умови, знайдемо С .

;

тоді є розв’язок задачі Коші.

Приклад 6. Знайти розв’язок задачі Коші

, (1.6)

Розв’язання. Знайдемо спочатку загальний розв’язок за методом варіації довільної сталої. Для цього знайдемо загальний розв’язок однорідного рівняння

.

Воно завжди є рівнянням з відокремлюючими змінними

; ; ;

Будемо тепер шукати загальний розв’язок неоднорідного рівняння в такому ж вигляді, як і однорідного, тільки С^* будемо вважати невідомою функцією від x, тобто

(1.7)

Знайдемо (1.8)

Підставляємо (1.7) і (1.8) у рівняння (1.6)

;

; ;

(1.9)

Підставимо (1.9) в (1.7), одержимо загальний розв’язок рівняння (1.6)

Знайдемо С із початкової умови

– розв’язок задачі Коші

Зауваження. Аналогічними методами інтегруються рівняння Я.Бернуллі.