30. Зв'язок інтеграла Рімана та інтеграла Лебега. Інтеграл Рімана .

Інтеграл Рімана _. Цей інтеграл не належить від способу вибору відмічених точок . Вводиться для обмеженої на [a; b] f(x) cуми Дарбу , де . ,де

Теорема.(критерій інтегрованості f(x)): інтеграл Рімана від обмеженої f(x) на [a; b]

Теорема 1(критерій інтегрованості за Ріманом): інтеграл Рімана від обмеженої f(x) на [a; b] ∃⇔ міра Лебега всіх точок розриву f(x) на [a; b] рівна 0.

Випадки:1) f(x) неперервна на [a; b], тоді точок розриву на [a; b] не буде інтегрована за Ріманом на [a; b]. 2) f(x) на [a; b] має скінчену кільк. точок розриву , тоді кусково неперервна f(x) інтегрована за Ріманом на [a; b]. 3) функція Діріхле D(x)= . Якщо - деяка точка, то в її околі буде безліч рац. точок, так і іррац. А) візьмемо послідов. , і - рац. точки .

Тоді D(x)=0 . Б) , і -іррац. точки . Тоді D(x)=1 . Точки розриву функцій Діріхле – це всі точки числової прямої. Якщо розглядати , то . Тоді ,

Теорема. Якщо ф-я f(x) обмежена на [a; b] і інтеграл Рімана , то тоді інтеграл Лебега [a;b] .

31. Граничний перехід під знаком інтегралу Лебега

Теорема (Лебега про граничний перехід під знаком -інтеграла). Нехай , причому -скрізь на E. Тоді , 0 і, якщо p = 1 або , то

Зауваження. Нерівність можна вимагати | |- скрізь на E.

Розглянемо тепер послідовність ( ) функцій , яка збігається – скрізь на Е до функції , причому , а функція . Вирішимо питання про – інтегрованість функції і відповідну рівність .

Спочатку вважаємо, що . Тоді можна утворити . Зрозуміло, що

утворимо також функції

які задовольняють нерівності

І тому З іншого боку,

За наслідком кожна функція Тому за теоремою Бенно Леві . Звідси, враховуючи нерівності

та умову, що – скрізь на Е, знову за теоремою Бенно Леві дістаємо, що і, коли додатково p=1 або , то

Аналогічно доводимо, що . Тому з нерівностей за властивістю монотонності –інтеграла дістаємо, що , коли p=1 або |μ|(E)<+∞.

Нехай тепер , де Ф – довільний бананів простір. Тоді , коли m і n –скрізь на Е, оскільки і –скрізь на Е. Крім того, . Тому за доведенням для будь-яких послідовностей і .

Звідси випливає, що , коли m і n , тобто послідовність фундаментальна у просторі . Тепер, як і при доведенні теореми Бенно Леві, доводимо, що і, коли p=1 або , то

32. Теореми Б.Леві та Фату

33. Нерівність Чебишева

Якщо на мн. А і , то тоді

Дов. , тоді

. і ці ддві множини не перетинаються

Ділисо на с ,маємо

.

34. Наслідок з нерівності чебишева. Простори

Якщо , то тоді f(x)=0 майже всюди на множині А.

Дов. і с= ,

для всіх

Остаточно

Зауваження.

– множина всіх f(x) для яких існує

А) для всіх f є , при чому f=0.

Простори і т. п. з інтегралом Лебега при переверці 1-ї аксіоми норми

на А т. т

Наслідок 2. Якщо

Дов. аналогічне доведення

Зауваження.