17.Потужність точок канторової множини

ТЕОРЕМА: Потужність точок канторової множини.

Доведення. Утворюємо відображення g:F [0,1]

= +…+ +…, де , і є N

G(i)=[ ]= двійковий дріб.

18.Зовнішня міра Лебега лінійної множини.

Елементарною множиною на R називається або відрізок [а,в] або (а,в), або (а,в] або [а, в), якщо

Зовнішня міра

Для довільної підмножини E числової прямої можна знайти довільну кількість різних систем скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину E. Назвемо такі системи покриттями. Сума довжин інтервалів, що входять в покриття, є невід'ємною і обмежена знизу, отже множина довжин всіх покриттів має точну нижню грань. Ця грань, залежить тільки від множини E, і називається зовнішньою мірою:

E =inf{ }

Варіанти позначення зовнішньої міри:

Очевидно, що зовнішня міра довільного інтервала збігається з його довжиною.

властивості зовнішньої міри

1.

2. E= ⇒

3. ,

де G — відкрита множина. Дійсно, достатньо в якості G взяти суму інтервалів, що утворюють покриття E, таку що . Існування такого покриття випливає з визначення точної нижньої грані.

ТЕОРЕМА. Всяка обмежена відкрита множина вимірна за Лебегом і її міра дорівнює сумі довжин усіх складових інтегралів, з яких складається ця відкрита множина.

19. Приклади скінченних, зчисленних множин та їх міри Лебега.

Озн. Множина називається вимірною за Лебегом, якщо для значення множини В, що є обєднанням елементарних множин і точок, що і тоді =(А) Лебегова міра множини позначається (А).

Теорема. (зліченної півадитивності ) Якщо A , де - скінченна або зліченна система множин, то

.

21. Вимірність обмеженої відкритої множини

Якщо – відкрита, обмежена підмножина k, то вона вимірна за Лебегом.

Дов. На множині дійсних чиселдля відкритої множини діє теорема про структуру відкритої множини в k, це буде або скінченне або счисленне об’єднання інтервалів неперекривних інтервалів.

U= , де неперекривних з інтервалів точка інтевалу.

і тоді:

Властивість 1

= =

22. Вимірність обмеженої замкненої множини

Якщо F замкнена обмежена множина k, то вона вимірна за Лебегом.

Дов. F – замкнена CF = k\F – відкрита

F тоді CF – відкрита, але необовязково обмежена, то

так що для

F –нижня межа F

Тоді ( ) відкрита множина

= (a, b) ( CF) переріз двох відкритих множин, буде множина відкритою і обмеженою, бо ( ) обмежена множина.

, тобто замкнена, обмежена, має міру Лебега.

23. Вимірність канторової множини, її міра Лебега

Міра Лебеги канторової множини = 0

24. Вимірні функції

Означення Функція , що визначена на множені А, що має міру Лебега називається вимірною, якщо

, вибірна за Лебегом для будь-яких c є R.

Зауваження

1. Множина визначає неперервність і міра цієї множини за виключення R.

2. Множина x, де виконується

для будь-яких n є N

Вимірна, як переріз вимірних

Вимірна за Лебегом

- вимірна для будь-якого c є R.

3. – переріз множини та як доповнення

Властивості вимірних функцій:

1. Якщо - вимірна функція, то і - вимірна

Доведення

дає вимірну множину для будь-якого с, то - вимірна за Лебегом для будь-якого с Є R

2. Якщо - вимірна функція, то тоді - вимірна.

3. Якщо вимірні функції , то тоді

буде вимірною за Лебегом

Доведення

Множина А – множина раціональних чисел, вона зчисленна, тому елемент можна занумерувати

*) якщо х з правої множини об'єднання , то х належить множині

, , тобто х належить лівій частині

**) якщо х з лівої множини, тобто , тоді