14. Критерій замкненої підмножини дійсних чисел.

Множина М, що лежить у просторі R, називається замкнутою, якщо вона збігається з своїм замиканням: [M] = M . Інакше кажучи множина наз замкнутою, якщо вона містить всі свої граничні точки.

Теорема. Перетин будь-якого числа і сума будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнуті множини.

Доведення: Нехай F∩ -перетин замкнутих множин і нехай х- гранична точка для F. Це означає, що будь-який її окіл (х) має нескінченно багато точок з F. Але тоді тим більше (х) має нескінченно багато точок з , і отже, бо всі замкнуті, точка х належить кожній , отже хє F∩ -, тобто F замкнута.

Нехай тепер F – сума скінченного числа замкнутих множин: F і нехай точка х не належить F. Покажемо, що х не може бути граничною для F. Справді, х не належить жодній з замкнутих множин F_і , отже не є граничною ні для жодної із них. Тому для кожної і можна знайти окіл (х) точки х, яка має не більше як скінченне число точок з F_і . Взявши з околів (х),…, (х) найменший, дістанемо окіл (х) точки х, що містить не більше як скінченне число точок з F.

Отже, якщо точка х не належить F, то вона не може бути граничною для F, тобто F замкнута. Теорему доведено.

Теорема1: Похідна будь-якої замкненої множини є множина замкнена.

Замиканням множини М наз. Об’єднання цієї множини з похідною множиною.

Теорема 2. (A B)

Теорема 3. Об’єднання скінченної кількості замкнених множин , множина замкнена.

Теорема 4. Переріз будь-якої кількості замкнених множин, множина замкнена

М cE=R

Теорема 5. Доповнення замкненої множини є множина відкрита.

Замкнута множина- це доповнення відкритих, то звідси випливає, що будь-яка замкнута множина на прямій утворює викидання з прямої скінченного або зліченного числа інтервалів.

15. Побудова канторової множини дійсних чисел

16. Властивість касторової множини(непорожність, замкненість, потужність множини кінців суміжніх інтервалів.)

Нехай F₀-відрізок [0,1].Викинемо з нього інтервал ( , ), решту замкнуту множину позначимо F₁. Потім викинемо з F₁ інтервал ( , ) і ( , ), а замкнуту множину, яка залишилася(з 4-х рідрізків), позначимо F₂, у кожному з 4-х відрізків викинемо середній інтервал довжиною ( )³ і т.д.

Продовжуючи цей процес, дістанемо спадну послідовність замкнутих множин F_n.

Припустимо, що F= , F- замкнута множина(як перетин замкнутих). Вона утворюється з відрізка [0,1]викиданням зліченного числа інтервалів.

Розглянемо структуру множини F. Їй належать точки 0,1, , , , , , -кінці інтервалів, які викидають. Однак множина F не вичерпується цими точками.Точки відрізка [0,1], які входять у множину F, охарактеризуємо так. Кожне з чисел x, 0 1 в трійковій системі x= + + +….. , де можуть набувати значень 0,1,2. Як і у випадку десяткових дробів числа допускають запис = + + +…..= + +…+ +…..Множині F належить числа x, 0 1 , які можна записати хочаб одним способом , у вигляді трійкового дробу так, щоб послідовність ,…., (2) , де . Сукупність таких послідовностей утворює множину потужності континууму.

У цьому можна впевнитись, поставивши у відповідність кожній послідовності (2 ) послідовність ,…., (3) де 0 і =1, якщо =2. Послідовність (2) можна розглядати як запис деякого дійсного числа у, 0 1 , у вигляді двійкового дробу. Отже, ми дістанемо відображення множини F на весь відрізок [0,1]. Звідси випливає, що F має потужність континууму. Оскільки множина точок (1) зчисленна , то ці точки не можуть вичерпувати всю F.

Теорема: Після вилучення з численної прямої скінченної або зчисленної кількості інтервалів, які перетинаються одержимо замкнену множину.