10. Підмножини даної множини. Існування потужності, вищої від даної.

Множина A називається підмножиною множини B (записується A B або B A) _тоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини A належить також множині B. Кажуть також, що множина A міститься у множині B. Знаки і називаються знаками включення.

Неважко переконатись, що A=B тоді і тільки тоді, коли одночасно виконуються два включення: A B і B A. Крім того, якщо A B і B C, то A C. Останні два факти часто використовуються при доведенні тверджень про рівність двох заданих множин.

Якщо A B, однак A B, то пишуть A B і називають множину A власною (строгою або істинною) підмножиною множини B. Знак (або ), на відміну від знака (або )), називається знаком строгого включення.

Очевидно, що для будь-якої множини A виконується A A. Крім того, прийнято вважати, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини A, тобто A (зокрема, ).

Слід чітко розуміти різницю між знаками і і не плутати ситуації їхнього вживання. Якщо {a} M, то a M, і навпаки.

Однак із включення {a} M, взагалі кажучи, не випливає {a} M. Для будь-якого об’єкта x виконується x . Наприклад, для множини D (1.1) і її елементів виконуються такі співвідношення: {a,b} D, {{a,b},{b,c}} D, a {a,b}, {c} {a,c}, {a} {a,b}.

11. Граничні точки множини. Замкнені множини, властивості замкнених множин.

Озн. Точка а – гранична точка множини М, якщо деякий окіл точки а (деяка відкрита множина, що містить а) має нескінченну кількість елементів множини М.

Озн. Множина називається замкненою, якщо М містить всі свої граничні точки.

Властивості замкнених

1. Переріз замкнених множин – замкнена множина.

Дов. (F_n= замкнена множина) (F_n – відкрита мн.) буде відкрита замкнена C( )= _.

2. Об’єднання скінченної кількості замкнених – замкнена мн.

3. жодної точки не має, і граничної точки, тому замкнена.

4. Весь простір – замкнена мн. (бо містить всі точки, зокрема і граничні.)

5. Якщо F – замкнена мн., то тоді доповнення CF – відкрита мн..

12. Внутрішні точки множини. Відкриті множини. Властивості відкритих множин.

Множина X R наз. відкритою, якщо кожна точка цієї множини x₀ X має інтервал (а; b), якому вона належить x₀ (a; b) і (а; b) Х.

Властивості відкритих множин.

1. Об’єднання відкритих множин є відкрита множина.

Дов. Якщо x₀ знайдеться неперервне n₀, таке що, x₀ і – відкрита множина, т.т. знайдеться I=(a; b), таке що, x₀ (a; b) і (а; b) , тоді і (а; b) і x₀ (a; b)

2. Переріз скінченної кількості відкритих множин – відкрита множина.

3. відкрита

4. Увесь простір R – відкрита множина.

Дов. Якщо дана x₀ R, то тоді і x₀ ( )=R, т.т. R – відкрита множина.

5. Якщо А – відкрита множина, то її доповнення до усього простору – замкнена множина.

13. Критерій відкритої підмножини дійсних чисел

Точка х називається внутрішньою точкою множини М, якщо існує окіл (х) цієї точки, який цілком міститься в М.

Множина, всі точки якої внутрішні, наз. Відкритою.

Теорема. Якщо множина М була відкрита, необхідно і достатньо, щоб її доповнення R\M до всьогопростору R було замкнуте.

Доведення: Якщо М відкрита, то кожна точка х з М має окіл, який повністю належить М, тобто такий що не має жодної спільної точки з R\ M. Отже , жодназ точок, які не належать R\M, не може бути точкою дотику для R\M, тобто R\M замкнуте. Навпаки, якщо R\M замкнуте, то будь-яка точка М має окіл, який повністю лежить в М, тобто М відкрита.

Оскільки порожня множина і всі R замкнуті і водночас є доповненнями одна одної, то порожня множина і всі R відкриті.

Теорема. Сума будь-якого числа і перетин будь-якого скінченного числа відкритих множин є відкиті множини.

Теорема. Доповнення відкритої множини є множина замкнена.

E={[1;2]}-замкнена,

CE={(- )(2;+ )}- відкрита.

Теорема. Обєднання будь-якої кількості відкритих множин, множина відкрита.

Теорема. Переріз скінченної кількості відкритих множин, множина відкрита.

Теорема. Будь-яка відкрита множина на числовій прямій є сумою скінченного або зліченного числа інтервалів, які попарно не перетинаються