5. Об'єднання зчисленної кількості зчисленних множин
Озн.
Мн-на
М
наз. зчисленною,
якщо
,
де
мн-на натурал. чисел , т.т.
бієкція
.
Власт. Об’єднання зчисленної кількості зчисленних множин дає зчисленну множину.
Дов.
об’єднання .
Нумерація по діагоналі:
1-ша:
2-га:
,
;
3-тя:
,
Н-д,
Елемент
попаде в діагональ номером 2015, -
.
6. Зчисленність множин цілих, раціональних чисел.
Зчисленна мн-на – це така мн-на, елементи якої можна бієктивно зіставити з усіма натуральними числами. Тобто, елементи такої множини можна занумерувати в нескінченну послідовність.
Множина всіх цілих чисел. Установимо відповідність між усіма цілими і всіма натуральними числами за такою схемою:
тобто, невід’ємному числу
зіставимо непарне число
,
а від’ємному
- парне число
:
Отже, мн-на цілих чисел зчисленна.
Множина всіх раціональних чисел Вл-ть 1. Мн-на
або
мн-на пар
,
де
зчисленна.
Дов.
– зчисленна, тому всі рац. числа мають
бути занумеровані.
Так як, об’єднання зчисленної кількості зчисленних множин дає зчисленну множину, то об’єднання всіх елементів – множина зчисленна.
Власт-ть
2.
Мн-на
й так
разів, або мн-на всіх наборів з
рац.чисел
,
де
зчисленна
мн-на.
Дов.
Доведемо для
За
вл. 1
зчисленна, тому елем. Її нумерують
.
зчисленна
кількість скінченних множин, і тому
зчисленна.
7. Алгебраїчні числа. Зчисленність мн-ни алг. Чисел.
Озн.
Алгебраїчні
числа —
підмножина
комплексних чисел,
кожне з яких є коренем
хоча б одного многочлена
певної степені з раціональними
коефіцієнтами. Тобто число
є
алгебраїчним якщо існує многочлен
,
де
Озн. Множиною алгебраїчних чисел наз. дійсні корені многочленів з рац.коефіцієнтами.
П-д. 1)
не буде раціональним;
- алгебраїчне, бо є коренем
з
рац. коефіцієнтами. 2)
многочлен
з рац.коефіцієнтами;
- рац.число.
Вл-ть. Множина алгебраїчних чисел зчисленна.
Дов.
Доведемо для мн-ни А, - всіх многочл-в
степеня з рац. коефіцієнтами, т.т.
зчисленна.
Мн-на дійсних коренів многоч-на
степеня
має зчисленну кількість многочленів,
кожен з яких має скінченну кількість
коренів. І тому за вл. про те, що об’єднання
зчисленної кількості скінченних множин
дає зчисленну мн-ну, маємо, що А
– зчисленна.
8. Незчисленність чисел відрізку [0;1]
Теор.
Мн-на
не
буде зчисленною.
Дов.
1) Рац.чисел з відрізку
безліч:
2) Якщо
припустити,що мн-на
зчисленна, то всі дійсні числа з
можна занумерувати, т.т.
Будуємо
дійсне число так:
беремо
;
беремо
……………………………………………..
Виникає дійсне число :
і
будь-яких
,
різниця в
разів після десяткової коми. Отримана
суперечність доводить теорему.
Озн.
Говорять,що мн-на дійсних чисел відрізку
має потужність континуум. Тобто, мн-на
є потужності континуум якщо вона
еквівалентна
.