12. Геоминтерпр-ия задачи лп с несколькими переменными.

Перейдем к геометрической интерпретации задачи ЛП с несколькими переменными.

max F = , (1)

b_i, (i= ), (2)

x_j 0, (j= ). (3)

Множ-во реш Х = (х₁,х₂,…,х_n), компоненты кот удовл-ют огранич-ю- равенству a_i1x₁ + a_i2x₂ +… + a_inx_in = b_i, (i= ), геом-ски пред-ют собой гиперплоскость n-мерного пространства. Это выпуклое множ-во.

Множ-во реш Х = (х₁,х₂,…,х_n), компонентыты кот удовл-ют нерав--вуa_i1x₁ + a_i2x₂ +… + a_inx_in b_i, (i= ),образ полупрос-во n-мерного простр-ва, кот также явл выпуклым множ-вом.

Множ-во реш, удовл-их системе огранич задачи ЛП (2), (3) предст собой пересечение конечного числа полупространств и поэтому явл выпуклым. Теорема:Множ-ворешзадача ЛП выпукло (если оно не пусто). Множ-во реш задачи ЛП в практически важных случаях чаще всего предст-ет собой либо выпуклый многогранник, либо выпуклую многогранную область. ЦФ (1) геом-ки можно рассм как семейство паралл гиперплоскостей с₁x₁ + с₂x₂ +… + с_nx_n =F, каждой из кот соот етопредзнач параметра F. Вектор = (с₁; с₂; …;с_n), перпенд-ый к гиперплоскости F=const, указ направл наискорейшего возраст функции F. С учетом сказанного, задача (1)-(3) геом-ки свод. к нахождению точки Х^* = (х₁^*,х₂^*,…,х_n^*) многогранника, опреднерав-ми (2), (3), через кот проход гиперплоскость семейства (1), соот-щая наиб значF. Граф методом можно решить задачу ЛП с n>2 перем, если в ее канон-ой записи число неизвn и число линейно-независ векторов mсвязсоотнош-ем n-m 2.

13Основная теорема лп

Если ЗЛП имеет решение, то ЦФ достигает экстрем.знач хотя бы в одной из крайних точек многогр.решений.

Если же ЦФ достигает экстрем.знач более чем в одной крайней точке, явл-ся их выпуклой лин.комбинаций.

Док-во: Пусть Х^*-допуст.реш., для кот.ЦФ достигает своего maxзначmaxF=f(X^*),тогда

f(X^*) (1)

Если Х^*совп с одной из крайних точек, то перв часть теор док-на.

Предпол, что Х^* не явл.крайнейточ, то первмногогрреш. Тогда Х^* можно в виде выпуклой линейной комбин точек Х₁, Х₂,…,Х_к:

Х*=

В силу лин-тиf(X) имеем

f(X^*)= ₁f(X₁)+ ₂f(X₂)+ …+ f(X_k)

Обозн через М maxзнач ЦФ среди всех крайних точек, т.е.

M=max(f(X₁), f(X₂),…,f(X_k)).

f(X*) ₁M+ ₂M+…+ _kM=MИли f(X*) M (2)

Из нер-в 1 и 2 вывод f(X*)= M

Но М-знач ЦФ в одной из крайн точек, поэтому Х^*совп с одной из них.

Допуст, что f(X)достиг макс знач более чем в одн точке

f(X₁)=f(X₂)= …=f(X_р)=M

Х= , i 0,(i= ,

f(X)= 1f(X1)+ 2f(X2)+…+ _pf(X_p)= 1M+ 2M+…+ _pM=M,

т.елин ф-я Fприним макс знач в произв точке Х, явл-ся выпукл линкомбин-ей точек Х1,Х2,…,Хр, в которой ЦФ F принимает макс знач

15. Построение начальн. Опорн. Плана

Пусть з-ча ЛП представлена с мат огранич в канонич виде

Огранич-рав-во имеет предпочтит вид, если при неотриц прав части лев часть содержперемен-ю с коэф-том=1, а в остальн ограничения эта перемен-я входит с коэф-том=0

Сис-маогранич имеет предпочтительн вид, если каждогранич-рав-во имеет предпочтит вид. В этом случае легко найти опорнреш( - это базисное с положит координатами)

Для этого все СП надо принять =0, а БП = свободным членам Пусть сис-маосногранич имеет вид:

С пом-ю добавления клев частям дополн неотриц перемен-х дан сис-му можно привести к канонич виду: а_ijх_j+ х_n+i = b_i, b_i≥0, i=1;m

Дан сис-маимеетпредпочтит вид и следоват-но начопорн план можно записать в виде:

Х₀=(0, 0, 0, … , 0, b₁, b₂, … , b_m).

16.Признак оптим опорн плана. Симплексн таблица Люб з-чу ЛП можно свести к виду:

Max(min)F=∆₀ - ∑(n,j=m+1)∆_jx_j

x_i+∑(n,j=m+1)α_ijx_j = b_i, i=1;m

x_j≥ 0, j=1;n

Для реш з-чи запис в симплексн таблицу

Посл строку наз-ют индексн строкой или строкой ЦФ. ∆₀= С_бβ=F(X₀) – значение ЦФ для нач опорн плана Х₀; ∆_j=С_бA_j-C_j, j=m+1;n–оценки СП

Реш з-чи:1) Если з-ча на max, то план оптимальн, если ∆_j≥0, j=1;n; Док-во:т.к. F=∆₀-∑(n,j=m+1) ∆_jx_j, ∆_j≥0,j=1,n, то F достиг max знач при ∑(n,j=m+1) ∆_jx_{j т} =0.Это возможно при x(m+1)=x(m+2)=…=x(n)=0.2) Если з-ча на min, то план оптимальн, если ∆_j≤0, j=1;n