3.2 Тестирование датчиков

Тестирование программ вычисления псевдослучайных чисел целесообразно производить не только при их разработке и отладке, но часто и в процессе использования готовых и зарекомендовавших себя программ (датчиков). Это рекомендация вызвана тем, что «качество» случайных чисел оказывает существенное влияние на результаты их использования, и практики знают ситуации, в которых некоторые специфические особенности датчиков делали их непригодными, хотя в других задачах эти датчики не вызывали нареканий.

генерируемые числа должны удовлетворять, в первую очередь, следующим тестам:

1. тест на случайность;

2. тест на соответствие выборки заданному закону распределения;

3. тест на независимость (или некоррелированность) элементов выборки.

В настоящее время разработано достаточно много статистических тестов для проверки датчиков случайных чисел (см., например [3,4]), но большинство из них в той или иной форме направлено на выявление перечисленных свойств генерируемой выборки.

Следует отметить, что особое внимание должно уделяться проверке датчика равномерных чисел, так как результаты его работы лежат в основе всех программ генерации выборки с заданным (неравномерным) распределением. Этот датчик создает «исходную», «первичную» случайность.

Рассмотрим проверку датчиков на соответствие заданному закону распределения и на независимость. (Проверка на случайность по числу и длине серий описана в [4] и [9].)

3.2.1.Проверка на соответствие заданному закону

распределения

Этот тест основывается на известной в математической статистике задаче проверки гипотезы о распределении случайной величины.

Наиболее употребительными методами сегодня являются проверки по критериям согласия λ – Колмогорова (иначе Колмогорова – Смирнова) и – Пирсона. Оба метода подробно изложены в литературе по математической статистике как учебной, так и монографической. (См., например, [1…5].)

Здесь приведем краткие сведения о них и основные формулы.

Критерий согласия λ – Колмогорова. Этот метод очень прост, но его применение требует выполнения двух ограничений: во-первых, распределение должно быть непрерывным и, во-вторых, параметры проверяемого распределения должны быть известны и не могут быть заменены их оценками, получаемыми на основе наблюдений.

В качестве меры близости статистического (выборочного) и генерируемого распределений принимается максимальное значение разности их функций распределения

где – выборочная функция распределения; – генерируемое распределение.

Колмогоровым было показано, что при увеличении объема выборки n, распределение случайной величины стремится к виду

На этом основании с доверительной вероятностью q можно утверждать, что выборочное распределение согласуется с гипотетическим, если

где – квантиль распределения уровня (1-q); –экспериментально вычисленное значение .

При использовании этим критерием необходимо иметь в виду, что распределение Колмогорова F(λ) является предельным при и, следовательно, надежные суждения о качестве генерации можно делать лишь по выборкам достаточно большого объема.

Критерий согласия – Пирсона. Этот метод, в отличие от предыдущего, применим как к непрерывным, так и к дискретным распределениям. Кроме того, допускается в гипотетическом распределении использовать в качестве значений параметров их оценки.

В соответствии с этим методом область возможных значений случайной величины разбивается на k разрядов и для каждого из них находится количество m элементов выборки, попавших в разряд, и вычисляется, в соответствии с генерируемым распределением, математическое ожидание этого числа , где – вероятность попадания в i-й разряд.

Пирсон показал, что случайная величина, определяемая выражением

при стремится к – распределению с (k-1)-й степенью свободы, если гипотетическое распределение задано полностью. Если же s параметров гипотетического распределения заданы их оценками, найденными по той же выборке, что и , то число степеней свободы критерия равно k-s-1. Выборочное распределение признается согласующимся с генерируемым с доверительной вероятностью q, если , где – квантиль уровня (1-q) распределения с (k-s-1)-й степенью свободы, а – экспериментальное значение критерия.

Сделанное в конце разд. 3.1 замечание о желательности увеличения объема выбора в связи с предельным характером распределения критериев справедливо и для критерия – Пирсона.

Более детальное изложение критериев λ – Колмогорова и – Пирсона приведено на с.47…51.