Связь координат вектора с координатами его образа

Пусть в линейном пространстве задан базис (4.8) и пусть – матрица линейного оператора в этом базисе. Выберем произвольный вектор и положим . Обозначим и – координатные столбцы векторов и соответственно в базисе (4.8). Тогда

[(4.3)] [(4.11)] = ,

и

. (4.13)

Равенство (4.13) есть не что иное, как разложение вектора по базису (4.8), а коэффициенты разложения –координаты вектора в этом базисе. В силу единственности координат вектора в данном базисе получаем

. (4.14)

Записав (4.14) по правилу цепочки ( ), получаем

. (4.15)

Формула (4.14) и задает связь координат вектора и координат его образа при линейном операторе, а (4.15) –ее матричная запись.

18. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса

Теорема 4.2. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:

(4.16)

и

, (4.17)

и пусть A = и – матрицы линейного оператора в базисах (4.16) и (4.17) соответственно. Тогда

, (4.18)

где Т – матрица перехода от (4.16) к (4.17).

►Чтобы найти матрицу , следует образы векторов базиса (4.17) разложить опять же по этому базису. Имеем

= [определение матрицы перехода] = = [(4.3)] = =

= [(4.11)] = = [свойство 6º § 9 гл. 3] = .

Итак,

= . (4.19)

Равенство (4.19) задает разложение вектора по базису (4.17). С другой стороны, по определению матрицы линейного оператора,

. (4.20)

В силу единственности координат вектора в данном базисе из (4.19) и (4.20) получаем равенство

, (4.21)

которое и дает нам связь элементов матриц линейного оператора в различных базисах. Запишем (4.21) по правилу цепочки:

. (4.22)

Так как (см. замечание в § 9 гл. 3), то из (4.22) получаем (4.18).◄

Определение. Квадратные матрицы А и В называются подобными, если существует невырожденная матрица Т такая, что .

Таким образом, мы видим, что матрицы линейного оператора в различных базисах подобны.

Лемма 4.1. Подобные матрицы имеют одинаковые определители. ► .◄

Определение. Определителем линейного оператора называется определитель его матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе пространства .