19. Операции над линейными операторами.
Определения.
Пусть
и
– линейные пространства над одним и
тем же полем
.
Суммой
линейных операторов
и
называется отображение
такое, что
:
.
Произведением
линейного оператора
на число
называется отображение
такое, что
:
.
Произведением
линейных операторов
и
называется отображение
такое, что
:
(т. е. произведение линейных операторов
– это просто произведение или композиция
отображений).
Теорема
4.3.
Сумма линейных операторов, произведение
линейного оператора на число и произведение
линейных операторов также являются
линейными операторами. При этом, если
,
А
и В
– матрицы линейных операторов f
и g
соответственно в некотором базисе
пространства
,
то матрицы операторов
,
и gf
в том же базисе совпадают соответственно
с матрицами А
+ В,
αА
и ВА.
►Доказательство проведем для произведения линейных операторов.
Пусть и – линейные операторы. Тогда
=
[линейность f
]
=
=
=[
линейность g
] =
=
;
.
Таким образом, gf – линейный оператор.
Пусть
– матрицы линейных операторов
и
соответственно в базисе
пространства
,
и пусть
– матрица оператора gf
в
том же базисе. Тогда по определению
матрицы линейного оператора
.
(4.25)
С другой стороны,
[линейность
g]
=
(4.26)
Сравнивая
(4.25) и (4.26), на основании единственности
координат вектора в данном базисе делаем
вывод:
,
откуда и получаем матричную запись: С
= ВА.◄
20. Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице.
Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой.
Теорема 4.4. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства была невырожденной
►Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе, Х, как обычно, координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда
{f
– невырожденный}
{однородная
система линейных уравнений AX
=
O
имеет единственное тривиальное решение}
{
}.
Так как определители подобных матриц совпадают, то утверждение справедливо и для любого базиса. ◄
Теорема 4.5. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным.
►Пусть – линейный оператор, А – его матрица в некотором базисе, X и Y – координатные столбцы в том же базисе векторов и соответственно. Тогда
{
невырожденный}
{
система
имеет единственное решение}
{
единственный
,
что
}
{
единственный
,
что
}
{f
– взаимно однозначный}.◄
Теорема 4.6. Произведение невырожденных линейных операторов – невырожденный линейный оператор.
►Пусть и – невырожденные линейные операторы. Тогда
{
}
{
}
{
}.
Tаким образом, gf – невырожденный линейный оператор.◄
21.Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности.
Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой.
Теорема 4.4. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства была невырожденной
►Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе, Х, как обычно, координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда
{f – невырожденный} {однородная система линейных уравнений AX = O имеет единственное тривиальное решение} { }.
Так как определители подобных матриц совпадают, то утверждение справедливо и для любого базиса. ◄
Теорема 4.5. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным.
►Пусть – линейный оператор, А – его матрица в некотором базисе, X и Y – координатные столбцы в том же базисе векторов и соответственно. Тогда
{ невырожденный} { система имеет единственное решение} { единственный , что }
{ единственный , что } {f – взаимно однозначный}.◄