Свойства матрицы перехода

1º. Матрица перехода от одного базиса к другому определяется однозначно.

►Вытекает из того, что она состоит из координатных столбцов векторов одного базиса в другом.◄

2º. Матрица перехода всегда невырождена.

►На основании матричного критерия линейной независимости.◄

3º. Если Т – невырожденная квадратная матрица n-го порядка и

– (3.46)

некоторый базис пространства , то в существует базис

(3.47)

такой, что Т – матрица перехода от (3.46) к (3.47).

►Пусть Положим (т. е. – вектор, чей координатный столбец в базисе (3.46) совпадает с i-м столбцом матрицы Т). Тогда (3.47) – линейно независимая система на основании матричного критерия, а значит, в является базисом. Из определения матрицы перехода вытекает, что Т – матрица перехода от (3.46) к (3.47).◄

4º. Матрица перехода от базиса к нему самому является единичной.

►Доказательство вытекает из равенства .◄

5º. Если Т – матрица перехода от базиса (3.46) к базису (3.47),а - матрица перехода от (3.47) к базису

, (3.48)

то матрицей перехода от (3.46) к (3.48) является матрица

►Действительно, , , и поэтому . Утверждение вытекает из определения матрицы перехода.◄

6º. Если Т – матрица перехода от (3.46) к (3.47), то матрицей перехода от (3.47) к (3.46) является

►(3.45) , и утверждение опять вытекает из определения матрицы перехода.◄

Замечание. По аналогии с равенством (3.44) естественно записать равенство , и поэтому элементы матрицы перехода от (3.47) к (3.46) естественно обозначать . Учитывая, что эта матрица есть не что иное, как получаем: Так как и то и

14. Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса. Изменение координат вектора при изменении базиса

Пусть в линейном пространстве по-прежнему заданы два базиса (3.46) и (3.47). Выберем в произвольный вектор . Его можно разложить как по одному базису, так и по другому: и . Тогда

. (3.49)

Равенство (3.49) – это разложение вектора по базису (3.46), и поэтому в силу единственности координат вектора в данном базисе получаем

. (3.50)

Обозначим координатные столбцы вектора в базисах (3.46) и (3.47) соответственно ( , ). Тогда (3.50) равносильно равенству , из которого вытекает, что

. (3.51)

Формулы (3.50) и (3.51) показывают, как изменяются координаты вектора при изменении базиса. Равенство (3.51) можно доказать и так:

.

Таким образом, – координатный столбец вектора в базисе (3.46), поэтому он совпадает с .