5.Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.

Определение. Число n называется размерностью линейного пространства V, а само пространство V называется n-мерным, если в V существует линейно независимая система из n векторов, а любая система из (n + 1)-го вектора линейно зависима. Размерность пространства по определению считается равной нулю.

Следствие. В n-мерном пространстве любая система из m векторов при m > n линейно зависима.

Следствие. Любой базис конечномерного линейного пространства V содержит одинаковое количество векторов.

Теорема 3.2. Для того чтобы линейное пространство было n-мерным, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовал базис, состоящий из n векторов.

► Достаточность. Дано: в пространстве V существует базис из n векторов

( ). (3.27)

Тогда в V есть линейно независимая система из n векторов (это система (3.27)). Покажем, что любая система из (n + 1)-го вектора в этом пространстве линейно зависима. Выберем одну из них:

( ). (3.28)

Каждый вектор системы (3.28) можно разложить по базису (3.27). Обозначим – координатные столбцы векторов системы (2) в базисе (1). Тогда

(так как эта матрица имеет только n строк). По матричному критерию система (3.28) линейно зависима и, таким образом, .

Необходимость. Дано: . Согласно определению, в пространстве существует линейно независимая система из элементов. Пусть

( ) – (3.29)

одна из таких систем. Но система

( ) (3.30)

линейно зависима. По 4-му свойству линейной зависимости (§ 2) вектор

можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (3.29), т. е.

Таким образом, (3.29) – система образующих пространства V, а значит, и его базис. ◄

6.Определение аффинного пространства и следствия из аксиом.

Пусть А – множество элементов произвольной природы, V – действительное линейное пространство. А называется аффинным пространством, связанным с линейным пространством V, если задан закон, по которому каждой паре элементов , где , ставится в соответствие элемент , причем выполняются две аксиомы.

1*. (рис. 3.1).

2*. единственный такой, что . Этот вектор обозначается .

1°.

► : . С другой стороны, [1*] = На основании второй аксиомы получаем требуемое.◄

2°.

►Если содержит одну точку, то утверждение очевидно. Если же не одну, то ◄

3°.

 Но и . Поэтому на основании второй аксиомы получаем , что равносильно доказываемому утверждению. ◄

7. Как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.

Важнейшим примером аффинного пространства является пространство . Положим

,

.

Для любых и определим операцию . Проверим выполнение аксиом:

;

положим

.

Тогда

Предположим, что существует вектор такой, что . Пусть . Значит, . Так как , то и поэтому . Следовательно, – противоречие.

Таким образом, пространство с введенной в нем операцией откладывания вектора от точки становится n-мерным аффинным или точечным пространством.

. Скалярным произведением векторов и пространства назовем число

.

Свойства скалярного произведения

1.

2.

3.

4. причем

Свойства 1 – 4 вы легко докажете в качестве упражнения исходя из определения скалярного произведения в .

Пространство с введенной в нем операцией скалярного произведения называется евклидовым пространством (подробно категорию евклидовых пространств мы будем изучать в шестой главе).

Из свойства 4 скалярного произведения видно, что для любого вектора существует . Это позволяет ввести в понятие длины вектора.

Длиной вектора называется число .

Очевидно, если , то , т. е., как и в школьной математике, длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Приведем без доказательства еще два свойства скалярного произведения (доказывать их будем в 6-й главе).

Неравенство Коши – Буняковского:

, или ;

неравенство треугольника:

, или .

Из неравенства Коши – Буняковского вытекает, что для всех ненулевых векторов пространства выполняется неравенство , что дает возможность ввести понятие угла между векторами.

Углом между ненулевыми векторами и пространства называется угол такой, что

Введем еще в понятие расстояния между точками.

Расстоянием между точками М и N в пространстве называется число . Если , а , то

.

Таким образом, как и в школьной математике, расстояние между двумя точками в пространстве равно корню квадратному из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.