30. Лемма о размерности пространства собственных векторов с одинаковыми собственными значениями.

Лемма 4.5.. Пусть – собственное значение кратности линейного оператора . Тогда .

►Предположим, что . Выберем в какой-либо базис и дополним его до базиса

(4.57)

пространства . В базисе (4.57) матрица А оператора f выглядит так

,

а ее характеристический многочлен (значит, и характеристический многочлен оператора f) имеет вид: , где –некоторый многочлен степени . Очевидно, – корень характеристического многочлена. Если – кратность , то , что противоречит условию.◄

31. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости.

Теорема 4.14. Для того чтобы квадратная матрица А n-го порядка приводилась к диагональному виду над полем Р, необходимо и достаточно, чтобы все ее характеристические числа принадлежали этому полю и для каждого из них выполнялось условие

, (4.58)

где – кратность корня характеристического уравнения матрицы А.

►Пусть – линейный оператор, построенный в теореме 4.13. На основании свойства 4º § 5 количество всех линейно независимых собственных векторов линейного оператора совпадает с суммой размерностей подпространств по всем собственным значениям . Если это количество линейно независимых собственных векторов обозначить через m, то

.

Тогда

{А приводится к диагональному виду} {в существует базис из собственных векторов оператора f} {любое характеристическое число является собственным значением и } : и : и .◄

32. Присоединенные векторы и правило их нахождения.

Определение. Если – собственное значение линейного оператора , а система векторов пространства удовлетворяет условиям:

то вектор , называется i-м присоединенным вектором к собственному вектору линейного оператора .

Теорема 4.15. Пусть – линейное пространство над полем Р. Если все характеристические числа линейного оператора принадлежат полю Р, то в существует базис, состоящий из собственных и присоединенных векторов оператора f, причем каждому собственному значению в этом базисе соответствует столько собственных векторов и присоединенных к ним, какова кратность этого собственного значения (без доказательства).

Правило нахождения присоединенных векторов

Обозначим А матрицу линейного оператора в некотором базисе, – координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда в матричном виде уравнение для нахождения будет выглядеть так:

что равносильно уравнению

.

Таким образом, видим, что для отыскания i-го присоединенного вектора к собственному вектору с собственным значением следует решить систему линейных уравнений с той же матрицей, что и для отыскания собственного вектора , но неоднородную, причем в качестве столбца свободных членов берется координатный столбец предыдущего присоединенного вектора.