
- •Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.
- •2.Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.
- •3.Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.
- •Свойства координат векторов
- •4.Матричный критерий линейной зависимости и независимости.
- •5.Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.
- •6.Определение аффинного пространства и следствия из аксиом.
- •Как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.
- •Свойства расстояния
- •Подпространства линейного пространства.
- •Линейные оболочки. Теорема о размерности линейной оболочки произвольной системы векторов.
- •10.Теорема о размерности линейной оболочки строк (столбцов) матрицы.
- •11. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства. Теорема о сумме и пересечении подпространств.
- •Свойства матрицы перехода
- •14. Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса. Изменение координат вектора при изменении базиса
- •15. Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение.
- •16. Определение линейного оператора и его простейшие свойства. Теорема о существовании линейного оператора.
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •17. Определение матрицы линейного оператора. Связь координат вектора с координатами его образа.
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •18. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса
- •19. Операции над линейными операторами.
- •20. Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице.
- •21.Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности.
- •22.Обратный линейный оператор.
- •23.Определение и свойства изоморфизма линейных пространств.
- •Свойства изоморфизма
- •24. Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема о размерности изоморфных пространств.
- •25.Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема об изоморфизме пространств одинаковой размерности.
- •26.Линейные формы.
- •27. Определение и свойства собственных векторов.
- •Свойства собственных векторов
- •30. Лемма о размерности пространства собственных векторов с одинаковыми собственными значениями.
- •31. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости.
- •32. Присоединенные векторы и правило их нахождения.
- •Правило нахождения присоединенных векторов
Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.
Определение. Линейным (векторным) пространством над полем Р называется множество V элементов произвольной природы, в котором заданы две операции: внутренняя – сложение, и внешняя – умножение на числа из Р , причем эти операции удовлетворяют следующим аксиомам.
1*.
– коммутативность сложения.
2*.
–
ассоциативность сложения.
3*.
существование
нейтрального элемента).
4*.
–
существование противоположного элемента.
5*.
.
6*.
.
7*.
.
8*.
.
1º. В линейном пространстве существует единственный нейтральный элемент.
► Предположим,
что в некотором линейном пространстве
есть два нейтральных элемента:
и
.
Тогда
Итак, мы пришли к противоречию.◄
2º. В линейном пространстве, каждый элемент имеет единственный противоположный.
►Предположим,
что некоторый элемент
имеет два различных противоположных:
и
,
т. е.
.
Получаем
–
опять пришли к противоречию.◄
3º.
►
◄
Замечание. При доказательстве следствий можно использовать либо аксиомы, либо уже доказанные следствия.
4º.
►
Таким
образом,
– противоположный к
.
Поэтому на основании 2-го следствия
◄
5º.
►
◄
6º. В линейном пространстве из равенства
вытекает: либо
, либо
.
►а) – утверждение верно.
б)
Тогда имеем:
◄
2.Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.
Определение. Система элементов
(3.1)
линейного
пространства
над
полем Р
называется линейно
зависимой,
если существуют числа
из поля Р,
не все равные 0, такие что
.
(3.2)
Система (3.1) называется линейно независимой, если равенство (3.2) выполняется только в том случае, когда
,
(3.3)
т. е. когда из равенства (3.2) вытекает (3.3).
1º. Система, содержащая нейтральный элемент, линейно зависима.
►Пусть система
(3.9)
содержит
нейтральный элемент и пусть, например,
.
Положим
(3.10)
Среди чисел (3.10) есть отличные от нуля и
значит, система (3.9) линейно зависима. ◄
2º. Система, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
►Пусть
система (3.9) содержит линейно зависимую
подсистему и пусть, например, подсистема
при
линейно зависима. Это означает, что
существуют числа
,
(3.11) не все равные
0, такие что
.
Положим
(3.12)
Среди чисел (3.12) есть отличные от 0, так как таковые есть среди чисел (3.11), и
.
Таким образом, исходная система линейно зависима. ◄
Следствие. Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.
3º. Критерий линейной зависимости. Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов можно было представить в виде линейной комбинации остальных.
►Необходимость. Дано: система
линейно
зависима. Значит, существуют числа
,
не все равные 0, такие, что справедливо
равенство
. (3.13)
Пусть,
например,
Тогда из (3.13) можно выразить
:
что и требовалось доказать.
Достаточность.
Дано: один из векторов можно представить
в виде линейной комбинации остальных,
например,
Положим
(3.14)
Cреди
чисел (3.14) есть отличные от 0 и
,
значит,
исходная система линейно зависима. ◄
4º. Пусть система
(3.15)
линейно независима, а система
– (3.16)
линейно зависима. Тогда можно представить в виде линейной комбинации элементов системы (3.15).
►В
силу линейной зависимости системы
(3.16) существуют числа
не все равные 0, такие, что
(3.17)
Предположим,
что
Значит, среди чисел
есть отличные от нуля, и из (3.17) вытекает,
что
что противоречит линейной независимости
(3.15). Таким образом,
,
и из (3.17) получаем требуемое утверждение.◄
5º. Для того чтобы система из одного элемента была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы он был нулевым.
►Достаточность вытекает из первого свойства.
Необходимость.
Пусть
система
линейно зависима, тогда существует
число
такое, что
.
Значит, на основании 6-го следствия из
аксиом (§1)
.◄
Следующие свойства формулируем для пространства свободных векторов.
6º. Для того чтобы два вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.
7º. Для того чтобы три вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарными.
►Доказательство последних двух свойств вытекает из третьего свойства и критериев коллинеарности и компланарности из аналитической геометрии. ◄