- •17. Матрицы. Действия над матрицами
- •18. Обернена матриця. Властивості обернених матриць
- •19.Ранг матрицы.Минор.Элементарные преобразование матриц. Метод элементарных преобразований для нахождения ранга.
- •20. Матричный метод. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений.
- •21.Умова сумісності систем лінійних рівнянь.Теорема Кронекера-Капеля..
- •22. Метод Гаусса
- •1.Числова послідовність. Границя послідовності. Означення. Геометричний зміст.
- •3.Границя функції в точці. Означення.Г еометричний зміст. Односторонні границі.
- •4.Неперервність функції в точці
- •5.Точки розриву функції. Класифікація.
- •6.Первый замечательный предел
- •7. Второй замечательный предел
- •8.Порівняння нескінченно малих. Властивості еквівалентних нескінченно малих.
- •9. Похідна. Означення. Геометричний та фізичний зміст. Односторонні та нескінченні похідні.
- •10. Теорема про зв ҆ язок між існуванням похідної та неперервністю функції в точці
- •11. Правила диференціювання
- •12. Таблиця похідних
- •13. Обернена функція, її існування та диференціювання. Похідні обернених тригонометричних функцій.
- •14.Гіперболічні функції та їх диференціювання
- •15. Логарифмічне диференціювання. Диференціювання складної показникової функції.
- •16(17). Диференціал функції.
- •18. Похідні вищих порядків
- •19. Похідні фінкцій заданих параметрично
- •20. Диференціали вищих порядків
- •21. Дії з комплексними числами
14.Гіперболічні функції та їх диференціювання
(гиперболический синус),
(гиперболический косинус).
Иногда рассматривается также гиперболический тангенс:
Г. ф. связаны между собой соотношениями, аналогичными соотношениям между тригонометрическими функциями:
Г. ф. можно выразить через тригонометрические:
sh x + ch x = ex
|
15. Логарифмічне диференціювання. Диференціювання складної показникової функції.
Якщо необхідно продиференціювати добуток кількох функцій або дріб, чисельник та знаменник якого містять добуток, часто доцільні-ше обидві частини виразу спочатку прологарифмувати за основою е, а потім приступити до диференціювання . Цей спосіб одержав назву логарифмічного диференціювання . Похідна від логарифма функції називається логарифмічною похідною.Б Производной от функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
, или .
Дифференцирование многих функций значительно упрощается, если их предварительно прологарифмировать.Если требуется найти из уравнения , то можно
а) логарифмировать обе части уравнения .б) дифференцировать обе части полученного равенства, где есть сложная функция от ,
в) заменить его выражением через и определить : Логарифмическое дифференцирование полезно применять, когда заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня) и, в частности, для нахождения производной от показательно-степенной функции , где и – функция от .
Производные от функции, заданной параметрически
Если функция от независимой переменной задана через посредство вспомогательной переменной (параметра) : , то производные от по определятся следующими формулами: ; .
Правило дифференцирования сложной функции
Сложная функция (композиция функций , суперпозиция функций ) обозначается или .
Производная композиции равна:
Если необходимо взять производную от композиции трех и более функций , то последовательно применяем указанное выше правило.
16(17). Диференціал функції.
Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную. Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/Dх=ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х.Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)•∆х и а•∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так как а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х: Поэтому первое слагаемое ƒ'(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу или dƒ(х)):dy=ƒ'(х)•∆х.
Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.
Поэтому формулу можно записать так:dy=ƒ'(х)dх,
Пример 24.2Найти дифференциал функции Вычислить dy при х=0, dx=0,1.Решение: Подставив х=0 и dx=0.1, получим
Геометрический смысл дифференциала функции
Выясним геометрический смысл дифференциала.
Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM1|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:
Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство
∆у≈dy
причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.
Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.