![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •17. Матрицы. Действия над матрицами
- •18. Обернена матриця. Властивості обернених матриць
- •19.Ранг матрицы.Минор.Элементарные преобразование матриц. Метод элементарных преобразований для нахождения ранга.
- •20. Матричный метод. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений.
- •21.Умова сумісності систем лінійних рівнянь.Теорема Кронекера-Капеля..
- •22. Метод Гаусса
- •1.Числова послідовність. Границя послідовності. Означення. Геометричний зміст.
- •3.Границя функції в точці. Означення.Г еометричний зміст. Односторонні границі.
- •4.Неперервність функції в точці
- •5.Точки розриву функції. Класифікація.
- •6.Первый замечательный предел
- •7. Второй замечательный предел
- •8.Порівняння нескінченно малих. Властивості еквівалентних нескінченно малих.
- •9. Похідна. Означення. Геометричний та фізичний зміст. Односторонні та нескінченні похідні.
- •10. Теорема про зв ҆ язок між існуванням похідної та неперервністю функції в точці
- •11. Правила диференціювання
- •12. Таблиця похідних
- •13. Обернена функція, її існування та диференціювання. Похідні обернених тригонометричних функцій.
- •14.Гіперболічні функції та їх диференціювання
- •15. Логарифмічне диференціювання. Диференціювання складної показникової функції.
- •16(17). Диференціал функції.
- •18. Похідні вищих порядків
- •19. Похідні фінкцій заданих параметрично
- •20. Диференціали вищих порядків
- •21. Дії з комплексними числами
1.Числова послідовність. Границя послідовності. Означення. Геометричний зміст.
Числова́ послідо́вність — послідовність (математика) дійсних чисел, тобто відображення, яке кожному натуральному числу n ставить у відповідність дійсне число xn. Число xnназивають елементом або членом послідовності . Щоб задати послідовність , потрібно вказати спосіб, за допомогою якого можна знайти будь-який його член.
Послідовність можна задати описом знаходження її членів.
Скінчену послідовність можна задати переліком її членів.
Послідовність можна задати таблицею, у якій навпроти кожного члена послідовності вказують його порядковий номер.
Послідовність можна задати формулою, за якою можна знайти будь-який член послідовності , знаючи його номер.
Спочатку
вказати перший або кілька перших
членів послідовності , а потім-
умову, за якою можна визначити будь-який
член послідовності за
попереднім.Такий спосіб
задання послідовності називають
рекурентним.Якщо
число
є границею послідовності
,
то всі члени цієї послідовності ,
номери яких
знаходяться
у довільному
-
околі точки
.
Що стосується членів послідовності
номери
яких
то
про їх розміщення на числовій осі нічого
не можна сказати, вони можуть знаходитися
як всередині
-
околу точки
,
так і поза ним. Проте у всякому разі поза
довільним
-
околом точки
може
бути розміщене тільки скінчене число
членів послідовності .
3. Властивості збіжних числових послідовностей
Введемо поняття збіжних послідовностей та подамо ряд їх властивостей, які будемо формулювати у вигляді теорем.Означення . Числова послідовність , яка має границю , називається збіжною, а яка не має границі , - розбіжною.Теорема 1. Послідовність може мати тільки одну границю .Теорема 2. Якщо послідовність має границю , то вона обмежена.
3.Границя функції в точці. Означення.Г еометричний зміст. Односторонні границі.
Надалі,
говорячи про границю функції
в точці
,
будемо вважати, що вона задана у деякому
проколотому околі точки
.
Означення
1.4. Число
називається границею функції
для
,
що прямує до
(або в точці
),
якщо для довільного числа
існує
таке число
,
що для всіх
,
які задовольняють умову
,
виконується нерівність
.
Якщо
число
є границею функції
в точці
,
то пишуть
або
,
якщо
.
Суть
означення границі функції
у точці
полягає в тому,
що для всіх значень
,
достатньо близьких до
,
абсолютні значення функції
як
завгодно мало відрізняються від числа
.
Геометричний
зміст границі функції в точці .
Число
є границею функції
,
якщо
,
коли для довільного
можна
знайти такий проколотий
-окіл точки
,
що для всіх
відповідні
ординати точок графіка функції
будуть
міститися в смузі
,
якою би вузькою вона не була (рис.
3).
Зауважимо,
що в означенні границі функції в точці ніяких
умов на спосіб прямування
до
не
накладалось. Якщо
так,
що
,
то така границя називається
правосторонньою границею функції
в точці
і
позначається
.
Рис.
3. Графічна інтерпретація
означення границі функції в точці
Аналогічно,
–
лівостороння границя функції
у точці
.
Якщо
,
то правосторонню і
лівосторонню границі функції
у точці
будемо
позначати
і
відповідно.
Односторонні границі . Ліва та права границя функції
Нехай
функція
визначена
на проміжку
.
Число
називають лівою границею функції
в
точці
і
пишуть
,
якщо
для будь-якого числа
знайдеться
додатнє число
,
яке залежить від
,
таке, що для всіх
,
які задовільняють нерівність
,
виконується нерівність
.
Аналогічно визначається права границя функції . Для позначення правої границі функції в точці використовується позначення
.
Ліва і права границі функції називаються односторонніми границями .
Якщо
функція
визначена
на проміжку
,
за винятком, можливо, точки
,
то для існування границі
необхідно і достатньо, щоб права і ліва границі функції в точці існували і були рівні:
.