3. Уравнение движения сплошной фазы
Уравнение сохранения импульса для сплошной фазы имеет вид:
(2.3)
Здесь
– средняя массовая скорость i-й
фазы (i = 1, 2);
– объёмная доля сплошной фазы;
– наблюдаемая скорость изменения
размера включения; R
– наибольший размер включений;
– сила взаимодействия между сплошной
фазой и включениями, возникающая
вследствие действия сил трения при
контакте фаз;
– массовые силы, действующие на сплошную
фазу;
– средняя плотность сплошной фазы;
– истинная плотность дисперсной фазы;
– число включений в единице объёма
смеси с размером от r
до r + dr;
– тензор вязких напряжений; Р –
давление.
Первое слагаемое в правой части уравнения (2.3) характеризует влияние поверхностных сил, действующих на сплошную фазу; второе слагаемое – влияние вязких напряжений, возникающих за счёт сил трения в самой сплошной фазе; третье слагаемое – влияние сил трения между сплошной фазой и включениями; четвёртое слагаемое – изменение импульса за счёт фазового превращения; пятое слагаемое – воздействие массовых сил.
Обозначение
означает субстанциональную производную:
(2.4)
Векторные и тензорные величины можно представить в виде проекций на оси координат:
(2.5)
где
– коэффициент вязкости сплошной фазы;
g
– ускорение свободного падения.
С учётом выражений (2.4), (2.5) уравнение движения сплошной фазы (2.3) можно записать в проекциях на оси координат. Например, в проекции на ось х оно будет иметь вид:
4. Уравнение движения дисперсной фазы
Уравнение сохранения импульса для дисперсной r-фазы имеет вид:
(2.6)
Здесь
– средняя массовая скорость r-фазы;
– сила взаимодействия между сплошной
фазой и r-фазой,
возникающая вследствие действия сил
трения при контакте фаз; Р – давление;
– массовые силы, действующие на включения
размером r, отнесённые
к единице массы включений (т.е. истинной
плотности
).
Первое слагаемое в правой части уравнения (2.6) характеризует влияние поверхностных сил, действующих на r-фазу; второе слагаемое – влияние сил трения между сплошной фазой и включениями размера r; третье слагаемое – воздействие массовых сил.
Отметим, что как
и уравнение баланса числа включений
(2.2), уравнение (2.6) записано для r-фазы.
Для получения уравнения движения всей
дисперсной фазы надо умножить каждый
член уравнения (2.6) на
и проинтегрировать его по dr
от 0 до R (где R
– наибольший размер включений).
Обозначение
означает субстанциональную производную:
(2.7)
Субстанциональная производная для дисперсной фазы (2.7) отличается от субстанциональной производной для сплошной фазы (2.4) наличием члена, описывающего фазовый переход (здесь – наблюдаемая скорость изменения размера включения).
С учётом выражений (2.7) и (2.5) уравнение движения r-фазы (2.6) можно записать в проекциях на оси координат. Например, в проекции на ось х оно будет иметь вид:
5. Уравнение сохранения внутренней энергии для сплошной фазы
Уравнение сохранения внутренней энергии для сплошной фазы имеет вид:
(2.8)
Здесь
– удельная внутренняя энергия сплошной
фазы;
– поток тепла между сплошной и дисперсной
фазами, не связанный с фазовыми переходами;
– поток тепла в сплошной фазе за счёт
процесса теплопроводности;
– средняя массовая скорость i-й
фазы;
– объёмная доля сплошной фазы;
– наблюдаемая скорость изменения
размера включения; R
– наибольший размер включений;
– сила взаимодействия между сплошной
фазой и включениями, возникающая
вследствие действия сил трения при
контакте фаз;
– средняя плотность сплошной фазы;
– истинная плотность i-й
фазы;
– число включений в единице объёма
смеси с размером от r
до r + dr;
– тензор вязких напряжений;
– тензор скоростей деформаций несущей
фазы; Р – давление.
Обозначение означает субстанциональную производную для сплошной фазы (2.4).
Первое слагаемое в правой части уравнения (2.8) характеризует обратимую работу сжатия материала фазы; второе слагаемое – переход кинетической энергии во внутреннюю за счёт действия вязких сил внутри сплошной фазы; третье слагаемое – переход кинетической энергии во внутреннюю за счёт действия сил трения между сплошной фазой и включениями; четвёртое слагаемое – переход кинетической энергии во внутреннюю за счёт неравновесного обмена импульсом при фазовых превращениях в случае, если скорости движения фаз различны; пятое слагаемое – контактный теплообмен между сплошной и дисперсной фазами; шестое слагаемое – поток тепла в сплошной фазе за счёт процесса теплопроводности.