2.2. Метод и процедуры Калмановской фильтрации

Итак, пусть поведение динамической системы описывается разностным уравнением

Y_k+1 = Ф_kY_k +U_k + W_k, (2.6)

где Y_k, U_k и W_k – n-мерные векторы состояния, входных воздействий и случайных возмущений соответственно. В нашем случае для системы (2.1) n = 2.

Пусть над системой производятся скалярные наблюдения вида

z_k = H Y_k + v_k . (2.7)

Кроме того, выполнены соотношения

M{W_k} = 0; M{v_k} = 0;

M{W_k} =_kk Q_k; M{v_k} =_kk M{W_k } = 0.

Далее будем через иобозначать оценки вектора состоянияY_k, полученные по измерениям z₁, z₂, …, z_k и z₁, z₂, …, z_k-1 соответственно.

Как известно [3, 4, 5], оптимальная в среднеквадратичном смысле оценка фильтрации вектора состоянияY_k может быть получена по измерениям (2.7) с помощью дискретного фильтра Калмана (ФК), уравнения которого имеют вид

; (2.8)

; (2.9)

; (2.10)

; (2.11)

; (2.12)

; (2.13)

, (2.14)

где - ковариационная матрица ошибки оценки фильтрации. Для работы алгоритма необходимо задать начальные условия,, при этом предполагается, что

; ;

;

при всех k.

Кратко поясним смысл уравнений ФК. Процедура фильтрации действует по схеме "предсказание (экстраполяция) - коррекция предсказания" при обработке каждого измерения z_k. Уравнения (2.8) и (2.9) определяют оценку  экстраполяции  и ковариационную матрицу ошибки этой оценкипри условии, что заданыи. Затем оценка фильтрацииполучается коррекцией оценки(уравнение 2.13). Корректирующий член учитывает новую информацию в виде невязки измерений, вычисляемой по (2.10). Полезно отметить, чтоC_k из (2.11) есть дисперсия невязки измерения, т. е. иМатрицуK_k, входящую в корректирующий член уравнения (2.13), часто называют весовой матрицей, матрицей передачи фильтра или матрицей коэффициентов усиления фильтра (в нашем случае динамической системы (2.1) и скалярных измерений это матрица размера 2*1).Таким образом, в уравнении коррекции (2.13) с соответствующим весом объединяются информация, заключенная в прошлых измерениях – z₁, z₂, …, z_k-1, и информация, содержащаяся в новом измерении z_k. Уравнение (2.14) определяет ковариационную матрицу P_k ошибки оценки фильтрации  .

Таким образом, фильтр Калмана на каждом шаге обработки очередного наблюдения z_k одновременно с вычислением оценки состояния  определяет и меру ее точности, характеризуемую диагональными элементами ковариационной матрицы P_k. Отметим, что уравнения коррекции (2.10) - (2.14) лишь формой записи отличаются от уравнений рекуррентной процедуры МНК, приведенных в лабораторной работе №1. Более того, уравнения рекуррентного МНК являются частным случаем уравнений ФК при Ф_k = Ф = I, U_k = 0, W_k = 0 и Q_k = 0 для всех k = 1, 2, …, N.

Фильтр Калмана можно рассматривать как обобщение рекуррентного МНК на случай, когда заданы динамические ограничения в виде уравнений модели (2.6). Тогда уравнения ФК можно получить [4] чисто алгебраическим путем, рассматривая задачу минимизации квадратичного функционала качества

, (2.15)

где W_j = Y_j – Ф_jY_j – U_j согласно уравнению (2.6) и - соответствующие весовые множители. Получаемые в результате такой  минимизации оценки вектора состоянияY(t_l) по измерениям z₁, z₂, …, z_k являются при l < k оценками сглаживания, а при l = k - оценкой фильтрации .

Если процессы W_k, v_k и начальная оценка имеют гауссовское распределение, то- наилучшая в среднеквадратичном смысле (несмещенная и с минимальной дисперсией) оценка состоянияY_k.